Toute la géophysique se lit à travers des champs : champ de pesanteur, champ magnétique, champ de température. Ce premier chapitre pose les outils mathématiques qui permettent de manipuler ces champs — gradient, divergence, rotationnel, laplacien — avant de les appliquer aux chapitres suivants. Ces notations reviennent dans presque tous les énoncés du module, souvent sous forme de petits calculs sur des fonctions simples.
1. Fonctions de plusieurs variables et champs scalaires
Une grandeur physique qui dépend de la position dans l'espace, comme la pression, la température ou le potentiel électrique, se décrit par une fonction de plusieurs variables f(x, y, z), ou de façon équivalente f(M) où M est un point de l'espace. Lorsqu'une telle fonction à valeurs scalaires est définie en tout point d'une région, on parle de champ scalaire. On appelle surface de niveau (ou surface équipotentielle) l'ensemble des points M pour lesquels f(M) garde une valeur constante : c'est un outil visuel essentiel pour représenter un champ de gravité ou un champ magnétique.
On distingue un vrai scalaire, dont le signe ne dépend pas du référentiel choisi (masse, pression, température, potentiel électrique), d'un pseudo-scalaire, dont le signe dépend de l'orientation du référentiel (le moment d'une force, par exemple). Cette distinction, discrète en apparence, conditionne la façon dont certaines grandeurs géophysiques se transforment lors d'un changement de repère.
2. Le gradient d'un champ scalaire
Le gradient d'un champ scalaire f, noté grad(f) ou ∇f, est un champ de vecteurs qui indique, en chaque point, la direction et le sens dans lesquels f croît le plus vite, avec pour norme le taux de cette croissance. Il est toujours perpendiculaire aux surfaces de niveau de f. En coordonnées cartésiennes, ses trois composantes sont les dérivées partielles ∂f/∂x, ∂f/∂y et ∂f/∂z. C'est l'opérateur central de la géophysique du potentiel : le champ de pesanteur est le gradient (changé de signe) du potentiel gravitationnel, et le champ magnétique dérive de même d'un potentiel scalaire.
3. La divergence d'un champ vectoriel
La divergence d'un champ de vecteurs V, notée div(V) ou ∇·V, est un champ scalaire qui mesure en chaque point la tendance du champ à « diverger », c'est-à-dire la présence locale d'une source (divergence positive) ou d'un puits (divergence négative). Le théorème de la divergence (ou théorème de Green-Ostrogradski) relie le flux d'un champ à travers une surface fermée à l'intégrale de sa divergence dans le volume délimité : il permet de passer d'une description locale (en un point) à une description globale (sur un volume), et sert de fondement au théorème de Gauss utilisé pour la pesanteur et le magnétisme.
4. Le rotationnel et les champs conservatifs
Le rotationnel d'un champ de vecteurs V, noté rot(V) ou ∇×V, est un autre champ de vecteurs qui mesure la tendance locale du champ à « tourner » autour d'un point. Un champ dont le rotationnel est nul en tout point est dit irrotationnel, ou conservatif : il dérive alors d'un potentiel scalaire f tel que V = grad(f). C'est le cas du champ de pesanteur et, en l'absence de courants, du champ magnétique : cette propriété justifie l'existence même du potentiel gravitationnel et du potentiel magnétique utilisés dans les chapitres suivants.
5. Le laplacien : équations de Laplace et de Poisson
Le laplacien d'un champ scalaire f, noté Δf, se définit comme la divergence de son gradient : Δf = div(grad f). C'est un champ scalaire qui traduit un bilan de flux autour d'un point. L'équation de Laplace Δf = 0 s'applique dans une région vide de sources (à l'extérieur des masses pour le potentiel gravitationnel, à l'extérieur des charges ou des aimants pour le potentiel magnétique et électrique) ; l'équation de Poisson, Δf proportionnel à la densité de sources, s'applique là où ces sources existent (à l'intérieur d'une masse, d'une distribution de charges ou d'une roche aimantée). Ces deux équations structurent toute la théorie du potentiel utilisée en gravimétrie et en magnétisme appliqué.
Fonction qui associe une grandeur scalaire (un nombre, sans direction) à chaque point de l'espace, comme la température, la pression ou un potentiel.
Vecteur qui indique, en un point d'un champ scalaire, la direction et le sens de la plus forte croissance de ce champ ; il est perpendiculaire aux surfaces de niveau.
| Opérateur | Entrée | Sortie | Signification physique |
|---|---|---|---|
| Gradient | Champ scalaire | Champ vectoriel | Direction de plus forte croissance |
| Divergence | Champ vectoriel | Champ scalaire | Présence d'une source ou d'un puits |
| Rotationnel | Champ vectoriel | Champ vectoriel | Tendance locale à la rotation |
| Laplacien | Champ scalaire | Champ scalaire | Bilan de flux, courbure du champ |
Les quatre opérateurs à distinguer
- Un champ scalaire associe un nombre à chaque point ; son gradient est un vecteur perpendiculaire aux surfaces de niveau.
- La divergence mesure les sources ou puits d'un champ vectoriel ; le théorème de la divergence relie flux et intégrale de volume.
- Un champ à rotationnel nul (irrotationnel) dérive d'un potentiel scalaire : c'est le cas de la pesanteur et du champ magnétique statique.
- Le laplacien est la divergence du gradient ; équation de Laplace hors des sources, équation de Poisson en présence de sources.
- Ces opérateurs relient les chapitres suivants entre eux : potentiel, champ, source obéissent tous au même formalisme mathématique.
Les épreuves demandent souvent de calculer le gradient, la divergence ou le rotationnel d'un champ donné explicitement, ou de reconnaître si un champ dérive d'un potentiel. Piège classique : confondre l'entrée et la sortie d'un opérateur (le gradient part d'un scalaire, la divergence y arrive) ou écrire l'équation de Poisson sans terme de source. Sache aussi énoncer sans hésiter la différence entre Laplace et Poisson.