La cinématique décrit le mouvement d'un point sans se demander ce qui le provoque. Ce chapitre installe les outils que tout le module réutilise : vecteurs position, vitesse et accélération, choix du repère, base de Frenet, puis l'étude des mouvements rectiligne, circulaire et sinusoïdal. C'est le premier exercice de presque tous les examens de mécanique du S2.
1. Point matériel, référentiel et repère
Un point matériel est un corps dont les dimensions sont négligeables devant les distances étudiées : on lui attribue une masse m et une position, rien d'autre. Décrire son mouvement suppose un référentiel (un solide de référence muni d'une horloge) et un repère R(O, ex, ey, ez) orthonormé direct. Le mouvement est toujours relatif : un passager immobile dans un train est en mouvement pour l'observateur resté sur le quai. La trajectoire est l'ensemble des positions occupées par M au cours du temps ; les équations horaires x(t), y(t), z(t) en sont la représentation paramétrique, et l'élimination de t entre elles donne l'équation cartésienne de la trajectoire.
2. Vecteurs position, vitesse et accélération
Le vecteur position OM = x ex + y ey + z ez repère M à l'instant t. Le vecteur vitesse est sa dérivée par rapport au temps dans le référentiel choisi : v = dOM/dt = ẋ ex + ẏ ey + ż ez, de norme v = √(ẋ² + ẏ² + ż²) en m·s-1. Il est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. Le vecteur accélération a = dv/dt = d²OM/dt² (en m·s-2) mesure la variation du vecteur vitesse : en direction comme en norme. Une vitesse de norme constante peut donc s'accompagner d'une accélération non nulle si la direction change, ce qui est exactement le cas du mouvement circulaire uniforme.
En coordonnées polaires (ρ, θ) dans le plan, la base mobile (eρ, eθ) tourne avec le point : deρ/dt = θ̇ eθ et deθ/dt = −θ̇ eρ. On obtient alors v = ρ̇ eρ + ρθ̇ eθ et a = (ρ̈ − ρθ̇²) eρ + (ρθ̈ + 2ρ̇θ̇) eθ. Ces deux formules, à savoir redémontrer, sont l'outil de choix pour les mouvements circulaires et les mouvements à force centrale.
Base locale (T, N) liée à la trajectoire : T est le vecteur unitaire tangent dans le sens du mouvement, N le vecteur unitaire normal dirigé vers le centre de courbure. L'accélération s'y décompose en a = (dv/dt) T + (v²/Rc) N, où Rc est le rayon de courbure.
La décomposition de Frenet a un sens physique immédiat : la composante tangentielle at = dv/dt traduit la variation de la norme de la vitesse (mouvement accéléré si at et v sont de même signe, décéléré sinon), la composante normale an = v²/Rc traduit le changement de direction. Un mouvement rectiligne a une composante normale nulle (Rc infini) ; un mouvement uniforme a une composante tangentielle nulle.
3. Mouvements rectilignes
Sur un axe Ox, le mouvement rectiligne uniforme (MRU) a une vitesse constante : x(t) = v0t + x0, accélération nulle. Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) a une accélération constante a : v(t) = at + v0 et x(t) = ½at² + v0t + x0. En éliminant le temps on obtient la relation très utile v² − v0² = 2a(x − x0). La chute libre sans frottement est le MRUV de référence avec a = g ≈ 9,81 m·s-2 dirigé vers le bas. Le tir dans le champ de pesanteur combine un MRU horizontal et un MRUV vertical : la trajectoire est une parabole, la portée maximale est obtenue pour un angle de tir de 45°.
4. Mouvement circulaire
Pour un point qui décrit un cercle de rayon R, l'abscisse angulaire θ(t) suffit à décrire le mouvement ; la vitesse angulaire est ω = θ̇ (rad·s-1) et la vitesse linéaire v = Rω. Dans le mouvement circulaire uniforme (ω constant), la période est T = 2π/ω et la fréquence f = 1/T ; l'accélération est purement centripète, a = v²/R = Rω², dirigée vers le centre. Dans le mouvement circulaire uniformément varié, l'accélération angulaire α = θ̈ est constante et les formules du MRUV se transposent : ω = αt + ω0, θ = ½αt² + ω0t + θ0 ; l'accélération possède alors une composante tangentielle Rα en plus de la composante normale Rω².
5. Mouvement rectiligne sinusoïdal
Le mouvement sinusoïdal est décrit par x(t) = Xm cos(ωt + φ) : Xm est l'amplitude, ω la pulsation, φ la phase à l'origine. La vitesse v = −Xmω sin(ωt + φ) est en quadrature avec la position, et l'accélération a = −ω²x lui est proportionnelle et opposée. Cette équation différentielle ẍ + ω²x = 0 est la signature de l'oscillateur harmonique, que l'on retrouvera avec le ressort et le pendule au chapitre 3. On retiendra que la vitesse est maximale au passage par la position d'équilibre et nulle aux extrémités, l'inverse pour l'accélération.
| Mouvement | Équation horaire | Vitesse | Accélération |
|---|---|---|---|
| Rectiligne uniforme | x = v₀t + x₀ | v₀ constante | 0 |
| Rectiligne uniformément varié | x = ½at² + v₀t + x₀ | v = at + v₀ | a constante |
| Circulaire uniforme | θ = ωt + θ₀ | v = Rω | a = v²/R vers le centre |
| Sinusoïdal | x = Xₘ cos(ωt + φ) | v = −Xₘω sin(ωt + φ) | a = −ω²x |
Les mouvements de référence à connaître
- Vitesse = dérivée du vecteur position, toujours tangente à la trajectoire ; accélération = dérivée du vecteur vitesse.
- En polaires : v = ρ̇ e_ρ + ρθ̇ e_θ ; a = (ρ̈ − ρθ̇²) e_ρ + (ρθ̈ + 2ρ̇θ̇) e_θ.
- Frenet : a = (dv/dt) T + (v²/R_c) N ; uniforme ⇔ a_t = 0, rectiligne ⇔ a_n = 0.
- MRUV : v² − v₀² = 2a(x − x₀) évite de passer par le temps.
- Circulaire uniforme : a = v²/R = Rω², T = 2π/ω ; sinusoïdal : ẍ + ω²x = 0.
L'exercice type donne les équations horaires x(t) et y(t) et demande la trajectoire, les vecteurs vitesse et accélération, puis la nature du mouvement (uniforme, accéléré, retardé) à partir du signe de v·a. Attention au piège du mouvement circulaire uniforme : la norme de v est constante mais l'accélération n'est pas nulle. Vérifie toujours l'homogénéité des unités et n'oublie pas les constantes d'intégration quand tu remontes de a à v puis à x.