Fiche de révision · S1

Résumé — Mathématiques

Tout le module en une page : les chapitres condensés en points essentiels, le vocabulaire et les pièges d'examen. Pour la veille de l'épreuve.

Nombres réels, bornes supérieures et raisonnements

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; √2 est irrationnel (preuve par l'absurde) ; |x + y| ≤ |x| + |y|.
sup A = plus petit majorant, inf A = plus grand minorant ; un maximum est un sup atteint dans A.
Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure (propriété fausse dans ℚ).
ℝ archimédien + ℚ dense dans ℝ ; E(x) = entier n tel que n ≤ x < n + 1 (piège : E(−2,7) = −3).
Récurrence = initialisation + hérédité ; absurde, contraposée, contre-exemple complètent la boîte à outils.

Convergence : pour tout ε > 0, |uₙ − ℓ| ≤ ε à partir d'un rang N ; limite unique, suite convergente ⇒ bornée.
Arithmétique uₙ₊₁ = uₙ + r vs géométrique uₙ₊₁ = q·uₙ ; (qⁿ) → 0 si |q| < 1, diverge si q ≤ −1.
Gendarmes (encadrement, même limite) ; croissante et majorée ⇒ convergente ; suites adjacentes ⇒ même limite.
Sous-suites paire/impaire de limites différentes ⇒ divergence (cas (−1)ⁿ) ; Bolzano-Weierstrass : suite bornée ⇒ sous-suite convergente.
Récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : intervalle stable, monotonie, convergence par limite monotone, puis f(ℓ) = ℓ.

Limite en a existe ⇔ limites à gauche et à droite existent et coïncident ; caractérisation séquentielle via les suites.
Limites usuelles en 0 : sin x/x → 1, (eˣ − 1)/x → 1, ln(1 + x)/x → 1 ; croissances comparées ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ en +∞.
Continue en a ⇔ lim f(x) = f(a) ; prolongement par continuité possible si la limite est finie (sin x/x en 0 → 1).
TVI : f continue sur [a, b] et f(a)f(b) < 0 ⇒ f s'annule dans ]a, b[ ; stricte monotonie ⇒ solution unique.
Continue sur un segment ⇒ bornée et atteint ses bornes ; continue + strictement monotone ⇒ bijection à réciproque continue.

f'(a) = lim (f(x) − f(a))/(x − a) ; dérivable ⇒ continue, réciproque fausse (|x| en 0, point anguleux).
(uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (g∘u)' = u'·g'∘u ; (f⁻¹)' = 1/f'∘f⁻¹.
Extremum local en un point intérieur ⇒ f'(a) = 0 (condition nécessaire, pas suffisante : x³ en 0).
Rolle : f(a) = f(b) ⇒ il existe c avec f'(c) = 0 ; TAF : f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).
|f'| ≤ M ⇒ |f(b) − f(a)| ≤ M|b − a| ; signe de f' ⇔ sens de variation ; f'' ≥ 0 ⇔ convexe.

ln et exp réciproques ; aˣ = eˣ ln a ; en +∞ ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ pour tout α > 0.
arcsin : [−1,1] → [−π/2, π/2], arccos : [−1,1] → [0, π], arctan : ℝ → ]−π/2, π/2[ ; arcsin x + arccos x = π/2.
ch² x − sh² x = 1 ; ch' = sh, sh' = ch ; réciproques argsh, argch, argth exprimées avec ln.
Taylor-Young : f(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! + o((x − a)ⁿ) ; DL unique = partie régulière du développement.
DL usuels en 0 : eˣ = 1 + x + x²/2 + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …, sin x = x − x³/6 + … → limites, tangente, asymptote, équivalent.

Toute fonction continue sur un segment est intégrable ; intégrale = aire algébrique (positive si f ≥ 0).
Linéarité, relation de Chasles, positivité (f ≤ g ⇒ ∫f ≤ ∫g) ; |∫f| ≤ ∫|f| ; valeur moyenne (1/(b−a))∫f.
Théorème fondamental : F(x) = ∫ₐˣ f est l'unique primitive nulle en a ; ∫ₐᵇ f = G(b) − G(a) pour toute primitive G.
IPP : ∫u'v = [uv] − ∫uv' (dériver le polynôme, intégrer l'exponentielle/trigonométrique).
Changement de variable x = φ(t) : dx = φ'(t)dt et bornes transformées ; fraction rationnelle → division puis éléments simples (ln, arctan).

Produit AB défini si colonnes de A = lignes de B ; (AB)ᵢⱼ = Σ aᵢₖbₖⱼ ; produit non commutatif en général.
ᵗ(AB) = ᵗB·ᵗA ; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ; matrice 2×2 inversible ⇔ ad − bc ≠ 0.
Déterminant 2×2 = ad − bc ; règle de Sarrus réservée à l'ordre 3 ; sinon développement selon une ligne riche en zéros.
det(AB) = det A · det B ; det(λA) = λⁿ det A (piège fréquent, pas λ det A) ; det triangulaire = produit de la diagonale.
A inversible ⇔ det A ≠ 0 ⇔ A⁻¹ = (1/det A)·ᵗcom(A) (comatrice transposée).

Écriture AX = B ; système homogène (B = 0) toujours compatible, solution nulle au minimum.
Système de Cramer : n = p et det A ≠ 0 ⇒ solution unique xᵢ = det Aᵢ / det A ou X = A⁻¹B.
Pivot de Gauss : échelonner par opérations sur les lignes puis remonter ; Gauss-Jordan sur [A | I] donne A⁻¹.
Rang r = nombre de pivots ; équation 0 = b ≠ 0 ⇒ aucune solution ; r = p ⇒ unique ; r < p ⇒ infinité (p − r paramètres).
Système à paramètre m : calculer det A(m), résoudre le cas général, puis traiter séparément chaque valeur qui annule det A(m).