Mathématiques

Les points clés à retenir en Mathématiques

Résumé complet de Mathématiques S1 : les 8 chapitres condensés en points essentiels (réels, suites, limites-continuité, dérivabilité, DL, intégrales, matrices, systèmes linéaires), le vocabulaire à connaître et les pièges d'examen.

• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; √2 est irrationnel (preuve par l'absurde) ; |x + y| ≤ |x| + |y|.
• sup A = plus petit majorant, inf A = plus grand minorant ; un maximum est un sup atteint dans A.
• Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure (propriété fausse dans ℚ).
• Convergence : pour tout ε > 0, |uₙ − ℓ| ≤ ε à partir d'un rang N ; limite unique, suite convergente ⇒ bornée.
• Arithmétique uₙ₊₁ = uₙ + r vs géométrique uₙ₊₁ = q·uₙ ; (qⁿ) → 0 si |q| < 1, diverge si q ≤ −1.
• Gendarmes (encadrement, même limite) ; croissante et majorée ⇒ convergente ; suites adjacentes ⇒ même limite.
• Limite en a existe ⇔ limites à gauche et à droite existent et coïncident ; caractérisation séquentielle via les suites.
• Limites usuelles en 0 : sin x/x → 1, (eˣ − 1)/x → 1, ln(1 + x)/x → 1 ; croissances comparées ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ en +∞.
• Continue en a ⇔ lim f(x) = f(a) ; prolongement par continuité possible si la limite est finie (sin x/x en 0 → 1).
• f'(a) = lim (f(x) − f(a))/(x − a) ; dérivable ⇒ continue, réciproque fausse (|x| en 0, point anguleux).
• (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (g∘u)' = u'·g'∘u ; (f⁻¹)' = 1/f'∘f⁻¹.
• Extremum local en un point intérieur ⇒ f'(a) = 0 (condition nécessaire, pas suffisante : x³ en 0).
• ln et exp réciproques ; aˣ = eˣ ln a ; en +∞ ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ pour tout α > 0.
• arcsin : [−1,1] → [−π/2, π/2], arccos : [−1,1] → [0, π], arctan : ℝ → ]−π/2, π/2[ ; arcsin x + arccos x = π/2.

Le vocabulaire de Mathématiques à connaître

Borne supérieure

plus petit majorant d'un ensemble

Suite adjacente

deux suites monotones de sens contraire, différence → 0

Théorème des gendarmes

encadrement par deux suites de même limite

TVI

toute valeur intermédiaire est atteinte par une fonction continue

Point anguleux

dérivées à gauche et à droite différentes

Théorème de Rolle

f(a) = f(b) ⇒ tangente horizontale entre a et b

Développement limité

approximation locale par un polynôme, reste en o(xⁿ)

Primitive

fonction dont la dérivée redonne f

Comatrice

matrice des cofacteurs, sert à calculer l'inverse

Système de Cramer

système carré avec det A ≠ 0, solution unique

Rang

nombre de pivots après échelonnement d'un système

Croissances comparées

hiérarchie ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ ≪ n! à l'infini