Calcul intégral et primitives

L'intégrale mesure une aire, mais aussi une quantité cumulée : dose totale reçue, distance parcourue, biomasse produite. Ce chapitre définit l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, énonce ses propriétés, relie intégrale et primitive par le théorème fondamental, puis présente les deux techniques de calcul reines de l'examen : l'intégration par parties et le changement de variable.

1. L'intégrale de Riemann

Pour f définie sur [a, b], on approche l'aire sous la courbe par des rectangles : on découpe [a, b] en n intervalles de longueur (b − a)/n et l'on somme les aires des rectangles de hauteur f(x_k), ce qui donne les sommes de Riemann. La fonction est intégrable si ces sommes convergent vers une limite commune quand n → +∞ ; cette limite est l'intégrale ∫_a^b f(t) dt. Théorème : toute fonction continue (ou monotone, ou continue par morceaux) sur un segment est intégrable. L'intégrale est l'aire algébrique : comptée positivement là où f ≥ 0, négativement là où f ≤ 0. Conséquence utile : (1/n) Σ_k=1ⁿ f(k/n) → ∫₀¹ f(t) dt, ce qui calcule certaines limites de suites.

2. Propriétés de l'intégrale

Linéarité : ∫(λf + μg) = λ∫f + μ∫g. Relation de Chasles : ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f, avec la convention ∫_b^a f = −∫_a^b f. Positivité : si f ≥ 0 sur [a, b] (a ≤ b) alors ∫_a^b f ≥ 0 ; d'où la croissance (f ≤ g ⇒ ∫f ≤ ∫g) et l'inégalité |∫f| ≤ ∫|f|. Si f est continue, positive et d'intégrale nulle sur [a, b], alors f est identiquement nulle. La valeur moyenne de f sur [a, b] est (1/(b − a))∫_a^b f, et la formule de la moyenne affirme qu'une fonction continue atteint sa valeur moyenne en un point c de [a, b]. Enfin, si f est paire, ∫_−a^a f = 2∫₀^a f ; si f est impaire, cette intégrale est nulle.

3. Primitives et théorème fondamental

Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable telle que F' = f ; deux primitives diffèrent d'une constante. Théorème fondamental de l'analyse : si f est continue sur I et a ∈ I, la fonction F(x) = ∫_a^x f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a ; elle est de classe C¹ et F'(x) = f(x). Par suite, pour toute primitive G de f, ∫_a^b f(t) dt = G(b) − G(a), noté [G(t)]_a^b. Calculer une intégrale revient donc à trouver une primitive. Dérivée d'une intégrale à bornes variables : si H(x) = ∫_u(x)^v(x) f(t) dt, alors H'(x) = v'(x)f(v(x)) − u'(x)f(u(x)).

4. Intégration par parties

Issue de la dérivée d'un produit, la formule d'intégration par parties (IPP) s'écrit, pour u et v de classe C¹ : ∫_a^b u'(t)v(t) dt = [u(t)v(t)]_a^b − ∫_a^b u(t)v'(t) dt. On l'utilise pour les produits polynôme × exponentielle, polynôme × sinus ou cosinus (on dérive le polynôme), pour les fonctions ln, arctan, arcsin (on pose v = ln t et u' = 1), et pour les produits exponentielle × trigonométrique (deux IPP successives puis résolution d'une équation). Exemple : ∫₁^e ln t dt = [t ln t]₁^e − ∫₁^e 1 dt = e − (e − 1) = 1. Les formules de récurrence I_n = ∫ tⁿe^−t dt ou les intégrales de Wallis ∫₀^π/2 sinⁿ t dt se traitent aussi par IPP.

5. Changement de variable et fractions rationnelles

Changement de variable : si φ est de classe C¹ sur [α, β] et f continue sur φ([α, β]), alors ∫_φ(α)^φ(β) f(x) dx = ∫_α^β f(φ(t))·φ'(t) dt. En pratique on pose x = φ(t), on remplace dx par φ'(t) dt et l'on change les bornes, oubli le plus fréquent. Changements classiques : u = ax + b, u = e^t pour les fractions en e^t, x = sin t pour √(1 − x²), u = tan(t/2) pour les fractions trigonométriques. Les fractions rationnelles s'intègrent après décomposition en éléments simples : division euclidienne si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, puis écriture en termes a/(x − r), b/(x − r)^k et (cx + d)/(x² + px + q) avec discriminant négatif, dont les primitives font intervenir ln et arctan. Exemple : 1/(x² − 1) = (1/2)[1/(x − 1) − 1/(x + 1)], de primitive (1/2)ln|(x − 1)/(x + 1)|.