Calcul matriciel et déterminants

Une matrice est un tableau de nombres qui code un système d'équations, une transformation géométrique ou une matrice de transition entre états (modèles de Leslie en dynamique des populations). Ce chapitre présente les opérations sur les matrices, la notion d'inverse, puis le déterminant, outil qui décide si une matrice carrée est inversible. Le calcul d'un déterminant 3 × 3 et d'une inverse par la comatrice tombent à chaque session.

1. Définitions et opérations

Une matrice A de taille n × p (n lignes, p colonnes) à coefficients réels est un tableau (a_ij) où i indexe la ligne et j la colonne ; on note M_n,p(ℝ) leur ensemble et M_n(ℝ) celui des matrices carrées d'ordre n. Matrices particulières : matrice nulle, matrice identité I_n (1 sur la diagonale, 0 ailleurs), matrices diagonales, triangulaires supérieures ou inférieures, matrice ligne (1 × p) et colonne (n × 1). L'addition et la multiplication par un scalaire se font coefficient par coefficient, entre matrices de même taille. La transposée ^tA (ou A^T) est la matrice p × n obtenue en échangeant lignes et colonnes ; A est symétrique si ^tA = A.

2. Le produit matriciel

Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B : A ∈ M_n,p, B ∈ M_p,q donnent AB ∈ M_n,q, avec (AB)_ij = Σ_k=1^p a_ikb_kj, soit « ligne i de A fois colonne j de B ». Le produit est associatif, distributif par rapport à l'addition, admet I_n pour élément neutre (AI = IA = A), et ^t(AB) = ^tB·^tA. Mais il n'est pas commutatif : en général AB ≠ BA, et l'on peut avoir AB = 0 avec A ≠ 0 et B ≠ 0. Conséquence : les identités remarquables ne s'appliquent pas, (A + B)² = A² + AB + BA + B², et l'on ne « simplifie » jamais AB = AC en B = C sans savoir que A est inversible. La trace d'une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux et vérifie tr(AB) = tr(BA).

3. Matrice inverse

Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I_n ; B est unique, notée A⁻¹. Propriétés : (A⁻¹)⁻¹ = A, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ (ordre inversé), (^tA)⁻¹ = ^t(A⁻¹). Pour une matrice 2 × 2 de coefficients a, b, c, d, elle est inversible si et seulement si ad − bc ≠ 0, et l'inverse s'obtient en échangeant a et d, en changeant le signe de b et c, puis en divisant par ad − bc. Une matrice inversible se caractérise aussi par le fait que le système AX = 0 n'a que la solution nulle, ou que ses colonnes sont linéairement indépendantes. Méthodes de calcul de A⁻¹ : résolution du système AX = Y, méthode de Gauss-Jordan (opérations sur les lignes de la matrice augmentée [A | I] jusqu'à obtenir [I | A⁻¹]), ou formule de la comatrice vue plus bas.

4. Déterminant d'une matrice carrée

Le déterminant associe à toute matrice carrée un réel det A (noté aussi |A|). Ordre 2 : det = ad − bc. Ordre 3 : la règle de Sarrus recopie les deux premières colonnes à droite, additionne les trois produits des diagonales descendantes et retranche les trois produits des diagonales montantes — valable uniquement à l'ordre 3. Cas général : développement selon une ligne ou une colonne, det A = Σ_j (−1)^i+j a_ij Δ_ij, où Δ_ij est le mineur (déterminant de la matrice privée de la ligne i et de la colonne j) et (−1)^i+jΔ_ij le cofacteur ; on choisit la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros. Le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est le produit des coefficients diagonaux, et det I_n = 1.

Propriétés fondamentales. Le déterminant est multiplicatif : det(AB) = det A · det B, d'où det(A⁻¹) = 1/det A ; det(^tA) = det A ; det(λA) = λⁿ det A (et non λ det A, erreur classique). Effet des opérations élémentaires : échanger deux lignes change le signe ; multiplier une ligne par λ multiplie le déterminant par λ ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre ne change rien — c'est ce qui permet de faire apparaître des zéros avant de développer. Le déterminant est nul dès que deux lignes (ou colonnes) sont égales ou proportionnelles, ou qu'une ligne est nulle. Théorème central : A est inversible si et seulement si det A ≠ 0.

5. Comatrice et calcul de l'inverse

La comatrice com(A) est la matrice des cofacteurs (−1)^i+jΔ_ij. Elle vérifie A·^tcom(A) = ^tcom(A)·A = (det A)·I_n, d'où, lorsque det A ≠ 0, la formule de l'inverse : A⁻¹ = (1/det A)·^tcom(A). Méthode pas à pas à l'ordre 3 : calculer det A (s'il est nul, arrêter : pas d'inverse) ; calculer les neuf cofacteurs en respectant le damier des signes + − + / − + − / + − + ; transposer la comatrice ; diviser par det A ; vérifier par le produit A·A⁻¹ = I₃. Interprétation géométrique utile : |det A| est le facteur de multiplication des aires (ordre 2) ou des volumes (ordre 3) par la transformation linéaire associée à A.