Après les suites, on passe aux fonctions d'une variable réelle : comment définir et calculer une limite, ce que signifie la continuité et ce qu'elle garantit. Le théorème des valeurs intermédiaires, qui prouve l'existence de solutions d'une équation f(x) = 0, est l'un des résultats les plus utilisés dans les contrôles de Mathématiques S1, y compris en lien avec les suites.
1. Généralités sur les fonctions
Une fonction f : D → ℝ associe à chaque réel x de son ensemble de définition D un unique réel f(x). Elle est paire si f(−x) = f(x) (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), impaire si f(−x) = −f(x) (symétrie par rapport à l'origine), périodique de période T si f(x + T) = f(x). Elle est croissante sur I si x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y), majorée si f(I) est majoré, bornée si |f| est majorée. Les opérations (somme, produit, quotient, composée g∘f) permettent de construire toutes les fonctions du cours à partir des fonctions de référence.
2. Limites d'une fonction
f tend vers ℓ en a si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que |x − a| ≤ δ (et x ∈ D) entraîne |f(x) − ℓ| ≤ ε. On définit de même les limites en ±∞ et les limites infinies, ainsi que les limites à gauche (x → a−) et à droite (x → a+) ; la limite en a existe si et seulement si les deux limites latérales existent et coïncident (avec f(a) si a ∈ D). La caractérisation séquentielle relie fonctions et suites : f(x) → ℓ quand x → a si et seulement si, pour toute suite (un) tendant vers a, f(un) → ℓ ; elle sert surtout à prouver qu'une limite n'existe pas, comme sin(1/x) en 0.
Les règles opératoires sont celles des suites, avec les mêmes formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0 et 1∞. Les techniques de levée : factoriser le terme dominant pour les polynômes et fractions rationnelles à l'infini (la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré), multiplier par la quantité conjuguée pour les racines, utiliser les limites usuelles sin x / x → 1, (ex − 1)/x → 1, ln(1 + x)/x → 1 en 0, et les croissances comparées : ex/xα → +∞ et ln x / xα → 0 quand x → +∞ pour tout α > 0. Le théorème des gendarmes et la composition des limites complètent la boîte à outils.
3. Continuité en un point
f est continue en a si f(a) existe et limx→a f(x) = f(a). Graphiquement, la courbe se trace sans lever le crayon. Les fonctions polynômes, rationnelles, racine, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus et valeur absolue sont continues sur leur domaine, et la continuité se conserve par somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composition. Quand f n'est pas définie en a mais possède une limite finie ℓ en a, on peut la prolonger par continuité en posant f(a) = ℓ : ainsi x ↦ sin x / x se prolonge en 0 par la valeur 1. Une fonction définie « par morceaux » est continue en un point de raccord si les limites à gauche et à droite y sont égales à la valeur de la fonction.
f est continue en a si limx→a f(x) = f(a) ; elle est continue sur un intervalle I si elle l'est en chaque point de I. Continuité = limite existante, finie et égale à la valeur.
4. Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f est continue sur [a, b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k. Cas d'usage constant : si f est continue et f(a)·f(b) < 0, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a, b[. Si de plus f est strictement monotone sur [a, b], cette solution est unique — c'est le couple « existence par le TVI, unicité par la stricte monotonie » qui apparaît dans presque tous les sujets. Conséquence : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. La dichotomie exploite le TVI pour encadrer la solution avec une précision arbitraire.
5. Image d'un segment et bijection réciproque
Théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment [a, b] est bornée et atteint ses bornes ; autrement dit f([a, b]) = [m, M] où m est le minimum et M le maximum de f. L'hypothèse « segment » est essentielle : x ↦ 1/x est continue sur ]0, 1] sans être majorée. Théorème de la bijection : si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur l'intervalle J = f(I), et sa réciproque f−1 : J → I est continue, de même monotonie ; les courbes de f et f−1 sont symétriques par rapport à la droite y = x. C'est ce théorème qui définit ln comme réciproque de exp, ou arctan comme réciproque de tan sur ]−π/2, π/2[.
| Forme | Situation type | Méthode |
|---|---|---|
| ∞ − ∞ | √(x² + 1) − x en +∞ | Quantité conjuguée → limite 0 |
| ∞/∞ | (3x² + 1)/(x² − x) en +∞ | Termes de plus haut degré → 3 |
| 0/0 | sin(2x)/x en 0 | Limite usuelle sin u / u → 1, d'où 2 |
| 0 × ∞ | x·ln x en 0<sup>+</sup> | Croissances comparées → 0 |
| 1<sup>∞</sup> | (1 + 1/x)<sup>x</sup> en +∞ | Passer au ln : x·ln(1 + 1/x) → 1, d'où e |
Lever une forme indéterminée
- La limite en a existe si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
- Limites usuelles en 0 : sin x / x → 1, (e<sup>x</sup> − 1)/x → 1, ln(1 + x)/x → 1.
- Croissances comparées en +∞ : ln x ≪ x<sup>α</sup> ≪ e<sup>x</sup>.
- Continue en a ⇔ lim f(x) = f(a) ; prolongement par continuité si la limite est finie.
- TVI : f continue sur [a, b] et f(a)f(b) < 0 ⇒ f s'annule ; stricte monotonie ⇒ unicité.
- Continue sur un segment ⇒ bornée et atteint ses bornes ; continue et strictement monotone ⇒ bijection avec réciproque continue.
Deux questions reviennent sans cesse : « montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [a, b] » (TVI + stricte monotonie, en citant explicitement la continuité) et « étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en x = 0 » (limites latérales). Vérifie toujours les hypothèses avant d'appliquer un théorème : oublier « continue » ou « sur un segment » fait perdre les points de la justification. Les calculs de limites avec racines (quantité conjuguée) sont le troisième incontournable.