La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction : pente de la tangente, taux de croissance d'une population, vitesse d'une réaction. Ce chapitre définit rigoureusement la dérivabilité, rappelle les règles de calcul, puis établit les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, qui justifient le lien entre signe de la dérivée et sens de variation et fournissent les inégalités demandées aux examens.
1. Nombre dérivé et fonction dérivée
f est dérivable en a si le taux d'accroissement (f(x) − f(a))/(x − a) admet une limite finie quand x → a ; cette limite est le nombre dérivé f'(a). Interprétation géométrique : f'(a) est la pente de la tangente en a, d'équation y = f(a) + f'(a)(x − a). Formulation équivalente : f(a + h) = f(a) + f'(a)·h + h·ε(h) avec ε(h) → 0, c'est-à-dire que f est approchée au voisinage de a par une fonction affine. On définit aussi les dérivées à gauche et à droite ; f est dérivable en a si et seulement si elles existent et sont égales.
Dérivable ⇒ continue, mais la réciproque est fausse : x ↦ |x| est continue en 0 avec une dérivée à gauche −1 et à droite +1, donc non dérivable en 0 (point anguleux) ; x ↦ √x est continue en 0 mais son taux d'accroissement 1/√x tend vers +∞ (tangente verticale). Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, la fonction x ↦ f'(x) est la fonction dérivée ; on dit que f est de classe C1 si f' est de plus continue, et l'on itère avec f'', f(n) et les classes Cn.
2. Calcul des dérivées
Règles de base : (u + v)' = u' + v', (λu)' = λu', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v − uv')/v2, et la dérivée d'une composée (g∘u)' = u' × g'∘u, qui donne (un)' = n·u'·un−1, (eu)' = u'eu, (ln u)' = u'/u, (√u)' = u'/(2√u). Dérivée de la réciproque : si f est une bijection dérivable et f'(f−1(y)) ≠ 0, alors (f−1)'(y) = 1/f'(f−1(y)) ; c'est ainsi que l'on obtient (ln x)' = 1/x à partir de exp, et arctan'(x) = 1/(1 + x2) à partir de tan.
| f(x) | f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| x<sup>α</sup> (α ∈ ℝ) | α·x<sup>α−1</sup> | ]0, +∞[ (ℝ si α ∈ ℕ) |
| e<sup>x</sup> ; ln x | e<sup>x</sup> ; 1/x | ℝ ; ]0, +∞[ |
| sin x ; cos x | cos x ; −sin x | ℝ |
| tan x | 1 + tan² x = 1/cos² x | x ≠ π/2 + kπ |
| arcsin x ; arccos x | 1/√(1 − x²) ; −1/√(1 − x²) | ]−1, 1[ |
| arctan x | 1/(1 + x²) | ℝ |
Dérivées usuelles à connaître par cœur
3. Extremum local et théorème de Rolle
f admet un maximum local en a s'il existe un voisinage de a sur lequel f(x) ≤ f(a). Condition nécessaire : si f est dérivable en a, point intérieur à l'intervalle, et admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0. La réciproque est fausse (x3 en 0 : dérivée nulle sans extremum) et la condition « intérieur » est indispensable (x ↦ x sur [0, 1] a son maximum en 1 avec f'(1) = 1). Théorème de Rolle : si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0. Géométriquement, entre deux points de même hauteur, la courbe possède une tangente horizontale. Application type : entre deux racines consécutives d'un polynôme se trouve une racine de sa dérivée.
f continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, f(a) = f(b) ⇒ il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0. Les trois hypothèses sont nécessaires : |x| sur [−1, 1] les met en défaut.
4. Théorème et inégalité des accroissements finis
Théorème des accroissements finis (TAF) : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a). Il se démontre en appliquant Rolle à g(x) = f(x) − f(a) − (f(b) − f(a))(x − a)/(b − a). Sa version pratique est l'inégalité des accroissements finis : si |f'| ≤ M sur l'intervalle, alors |f(b) − f(a)| ≤ M|b − a| ; plus généralement, si m ≤ f' ≤ M, alors m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a). Elle fournit les encadrements classiques, par exemple x/(1 + x) ≤ ln(1 + x) ≤ x pour x > 0, ou |sin b − sin a| ≤ |b − a|, et elle est l'outil pour montrer qu'une suite récurrente converge géométriquement vers son point fixe : |un+1 − ℓ| ≤ k|un − ℓ| avec k < 1.
5. Applications : variations, convexité, règle de l'Hospital
Le TAF justifie le résultat utilisé depuis le lycée : sur un intervalle, f' ≥ 0 ⇔ f croissante, f' ≤ 0 ⇔ f décroissante, f' = 0 ⇔ f constante ; si f' > 0 sauf en des points isolés, f est strictement croissante. L'étude du signe de f' construit le tableau de variations, d'où découlent les inégalités de type ex ≥ 1 + x (étudier g(x) = ex − 1 − x). La dérivée seconde renseigne sur la convexité : f'' ≥ 0 signifie que la courbe est au-dessus de ses tangentes (convexe), f'' ≤ 0 en dessous (concave), et un changement de signe de f'' marque un point d'inflexion. Enfin la règle de l'Hospital : si f(a) = g(a) = 0, f et g dérivables au voisinage de a avec g' ≠ 0, et si f'(x)/g'(x) → ℓ, alors f(x)/g(x) → ℓ ; à manier avec prudence et seulement pour des formes 0/0 ou ∞/∞.
- f'(a) = lim (f(x) − f(a))/(x − a) ; tangente y = f(a) + f'(a)(x − a).
- Dérivable ⇒ continue ; réciproque fausse (|x| en 0).
- (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (g∘u)' = u'·g'∘u ; (f⁻¹)' = 1/f'∘f⁻¹.
- Extremum local en un point intérieur ⇒ f' = 0 (pas de réciproque).
- Rolle : f(a) = f(b) ⇒ f'(c) = 0 ; TAF : f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).
- |f'| ≤ M ⇒ |f(b) − f(a)| ≤ M|b − a| ; signe de f' ⇒ sens de variation.
Question de cours fréquente : énoncer et démontrer le TAF à partir de Rolle. En exercice : étudier la dérivabilité en un point de raccord (taux d'accroissement à gauche et à droite), puis démontrer une inégalité par accroissements finis ou par étude des variations d'une fonction auxiliaire. Piège : appliquer Rolle ou le TAF sans vérifier la continuité sur le segment fermé et la dérivabilité sur l'ouvert, ou conclure « f' > 0 donc strictement croissante » sur une réunion d'intervalles disjoints, ce qui est faux pour 1/x.