Les fonctions usuelles sont le vocabulaire de toute la biologie quantitative (croissance exponentielle, échelle logarithmique du pH, sinusoïdes des rythmes). Les développements limités, eux, remplacent une fonction compliquée par un polynôme au voisinage d'un point : ils lèvent les formes indéterminées, donnent la tangente et sa position par rapport à la courbe. Les DL usuels sont à savoir par cœur pour l'examen.
1. Logarithme, exponentielle et puissances
Le logarithme népérien ln : ]0, +∞[ → ℝ est l'unique primitive de 1/x s'annulant en 1 ; il est strictement croissant, ln(ab) = ln a + ln b, ln(an) = n·ln a, ln 1 = 0, ln e = 1, et ln x → −∞ en 0+, +∞ en +∞. L'exponentielle est sa bijection réciproque, ℝ → ]0, +∞[, avec ea+b = ea·eb, (ex)' = ex. Pour a > 0, la puissance est définie par ax = ex·ln a et la fonction x ↦ xα = eα·ln x sur ]0, +∞[ ; le logarithme décimal log x = ln x / ln 10 est celui du pH et des échelles logarithmiques. Croissances comparées à retenir : en +∞, ln x ≪ xα ≪ ex pour tout α > 0 ; en 0+, xα·ln x → 0.
2. Fonctions circulaires réciproques
sin, cos et tan ne sont pas bijectives sur ℝ ; on les restreint à un intervalle où elles sont continues et strictement monotones. arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2] est la réciproque de sin, impaire, de dérivée 1/√(1 − x2) sur ]−1, 1[. arccos : [−1, 1] → [0, π] est la réciproque de cos, de dérivée −1/√(1 − x2), et arcsin x + arccos x = π/2. arctan : ℝ → ]−π/2, π/2[ est la réciproque de tan, impaire, de dérivée 1/(1 + x2), avec arctan x → π/2 en +∞ et arctan x + arctan(1/x) = π/2 pour x > 0. Piège : arcsin(sin x) = x seulement si x ∈ [−π/2, π/2].
3. Fonctions hyperboliques
On pose ch x = (ex + e−x)/2 (cosinus hyperbolique, paire, minimum 1 en 0), sh x = (ex − e−x)/2 (sinus hyperbolique, impaire, strictement croissante) et th x = sh x / ch x (tangente hyperbolique, à valeurs dans ]−1, 1[). Relations : ch2 x − sh2 x = 1, ch' = sh, sh' = ch, th' = 1 − th2 = 1/ch2. Leurs réciproques argsh (sur ℝ), argch (sur [1, +∞[) et argth (sur ]−1, 1[) s'expriment avec le logarithme, par exemple argsh x = ln(x + √(x2 + 1)). La courbe de ch est la chaînette, forme d'un câble suspendu.
4. Formules de Taylor
Les formules de Taylor approchent une fonction n fois dérivable par son polynôme de Taylor en a : Tn(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + f''(a)(x − a)2/2! + … + f(n)(a)(x − a)n/n!. Trois versions selon la précision sur le reste. Taylor-Young (f de classe Cn) : f(x) = Tn(x) + (x − a)nε(x) avec ε(x) → 0, ce que l'on note o((x − a)n) ; c'est la version locale qui fonde les DL. Taylor-Lagrange (f de classe Cn+1) : le reste vaut f(n+1)(c)(x − a)n+1/(n + 1)! pour un c entre a et x, ce qui généralise le TAF (cas n = 0) et sert aux majorations d'erreur. Taylor avec reste intégral : le reste s'écrit ∫ax f(n+1)(t)(x − t)n/n! dt.
f admet un DL d'ordre n en 0 s'il existe un polynôme P de degré ≤ n tel que f(x) = P(x) + xnε(x) avec ε(x) → 0 quand x → 0 ; on écrit f(x) = P(x) + o(xn). P est unique : c'est la partie régulière du DL.
5. Développements limités usuels et opérations
Par Taylor-Young en 0, on obtient les DL de référence rassemblés dans le tableau. Règles de calcul : la somme et le produit de DL se font en tronquant à l'ordre voulu (ne garder que les termes de degré ≤ n) ; la composition f(u(x)) exige que u(x) → 0 ; le quotient se ramène au produit par 1/(1 + v) = 1 − v + v2 − … ; l'intégration terme à terme d'un DL de f' donne celui de f (ainsi le DL de ln(1 + x) s'obtient en intégrant celui de 1/(1 + x)). La parité aide : une fonction paire n'a que des puissances paires. Pour un DL en a ≠ 0, on pose x = a + h et l'on développe en h → 0 ; pour un DL en +∞, on pose x = 1/t.
Applications. (1) Calcul de limites : (ex − 1 − x)/x2 → 1/2 car ex − 1 − x = x2/2 + o(x2) ; l'ordre choisi doit être suffisant pour que le numérateur et le dénominateur aient un terme non nul. (2) Tangente et position : si f(x) = a0 + a1x + akxk + o(xk) avec ak ≠ 0, la tangente en 0 est y = a0 + a1x et la position de la courbe est donnée par le signe de akxk (au-dessus si ak > 0 et k pair, traversée si k impair). (3) Asymptotes : un développement en +∞ f(x) = ax + b + c/x + o(1/x) donne l'asymptote y = ax + b et la position par le signe de c. (4) Équivalents : f ~ g en 0 si f/g → 1 ; le premier terme non nul du DL fournit un équivalent, par exemple sin x ~ x, 1 − cos x ~ x2/2, ln(1 + x) ~ x.
| Fonction | DL en 0 | Terme général |
|---|---|---|
| e<sup>x</sup> | 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³) | x<sup>n</sup>/n! |
| ln(1 + x) | x − x²/2 + x³/3 + o(x³) | (−1)<sup>n+1</sup>x<sup>n</sup>/n |
| 1/(1 − x) | 1 + x + x² + x³ + o(x³) | x<sup>n</sup> |
| (1 + x)<sup>α</sup> | 1 + αx + α(α − 1)x²/2 + o(x²) | α(α−1)…(α−n+1)x<sup>n</sup>/n! |
| sin x ; cos x | x − x³/6 + o(x⁴) ; 1 − x²/2 + x⁴/24 + o(x⁵) | (−1)<sup>k</sup>x<sup>2k+1</sup>/(2k+1)! ; (−1)<sup>k</sup>x<sup>2k</sup>/(2k)! |
| tan x ; arctan x | x + x³/3 + o(x⁴) ; x − x³/3 + o(x⁴) | — ; (−1)<sup>k</sup>x<sup>2k+1</sup>/(2k+1) |
Développements limités usuels en 0 (à mémoriser)
- ln et exp sont réciproques ; a<sup>x</sup> = e<sup>x ln a</sup> ; ln x ≪ x<sup>α</sup> ≪ e<sup>x</sup> en +∞.
- arcsin : [−1,1] → [−π/2, π/2], arccos : [−1,1] → [0, π], arctan : ℝ → ]−π/2, π/2[ ; arcsin x + arccos x = π/2.
- ch² − sh² = 1 ; ch' = sh ; sh' = ch.
- Taylor-Young : f(x) = Σ f<sup>(k)</sup>(a)(x − a)<sup>k</sup>/k! + o((x − a)<sup>n</sup>) ; le DL est unique.
- e<sup>x</sup> = 1 + x + x²/2 + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …, sin x = x − x³/6 + …, cos x = 1 − x²/2 + ….
- Un DL sert à calculer une limite, une tangente et sa position, une asymptote, un équivalent.
Attends-toi à un calcul de DL d'ordre 3 ou 4 d'une fonction composée ou d'un quotient (par exemple ex/(1 + x) ou ln(cos x)), suivi d'une limite ou de l'équation de la tangente avec position relative. Le piège numéro un : tronquer trop tôt et perdre un terme, ou composer avec une variable qui ne tend pas vers 0. Les questions de cours portent sur l'énoncé de Taylor-Young ou de Taylor-Lagrange et sur les domaines des fonctions arcsin, arccos, arctan.