Une suite est une liste infinie de réels indexée par les entiers ; elle modélise les phénomènes discrets (croissance d'une population de génération en génération, concentration d'un médicament à chaque prise). Ce chapitre passe des suites arithmétiques et géométriques du lycée à la définition rigoureuse de la limite, aux théorèmes de convergence et à l'étude des suites récurrentes, sujet phare de l'examen.
1. Définitions et vocabulaire
Une suite réelle (un)n ≥ n0 est une application de ℕ (ou d'une partie de ℕ) dans ℝ ; un est le terme de rang n. Elle est définie soit explicitement (un = 1/n), soit par récurrence (u0 donné et un+1 = f(un)). La suite est croissante si un+1 ≥ un pour tout n, décroissante si un+1 ≤ un, monotone dans l'un des deux cas. Elle est majorée s'il existe M tel que un ≤ M pour tout n, minorée s'il existe m tel que un ≥ m, bornée si les deux, ce qui équivaut à l'existence de K avec |un| ≤ K.
Pour étudier la monotonie, on examine le signe de un+1 − un, ou le quotient un+1/un comparé à 1 quand les termes sont strictement positifs, ou encore la monotonie d'une fonction f telle que un = f(n). Attention : si un+1 = f(un), la croissance de f n'entraîne pas celle de la suite ; elle garantit seulement que la suite est monotone, dans le sens donné par la comparaison de u1 et u0.
2. Suites arithmétiques et géométriques
Une suite arithmétique de raison r vérifie un+1 = un + r, d'où un = up + (n − p)r et la somme de N termes consécutifs = N × (premier + dernier)/2 ; en particulier 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Une suite géométrique de raison q vérifie un+1 = q·un, d'où un = up·qn−p et, pour q ≠ 1, 1 + q + … + qn = (1 − qn+1)/(1 − q). La suite (qn) tend vers 0 si |q| < 1, vers +∞ si q > 1, est constante si q = 1 et n'a pas de limite si q ≤ −1. Les suites arithmético-géométriques un+1 = a·un + b (a ≠ 1) se ramènent au cas géométrique en posant vn = un − ℓ, où ℓ = b/(1 − a) est le point fixe.
3. Limite d'une suite
La suite (un) converge vers le réel ℓ si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que |un − ℓ| ≤ ε pour tout n ≥ N : à partir d'un certain rang, tous les termes sont aussi proches de ℓ que l'on veut. La limite, si elle existe, est unique, et toute suite convergente est bornée (réciproque fausse : (−1)n est bornée et diverge). Une suite qui ne converge pas diverge, soit vers ±∞ (un → +∞ si pour tout A il existe N tel que un ≥ A dès que n ≥ N), soit sans limite.
Les opérations sur les limites finies se comportent bien : somme, produit, quotient (si la limite du dénominateur est non nulle) et passage à la limite dans les inégalités larges (un ≤ vn ⇒ ℓ ≤ ℓ'), jamais dans les inégalités strictes. Les formes indéterminées ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0 se lèvent par factorisation du terme dominant, multiplication par la quantité conjuguée ou comparaison de croissances : à l'infini, ln n ≪ nα (α > 0) ≪ an (a > 1) ≪ n!.
(un) converge vers ℓ ∈ ℝ si pour tout ε > 0 il existe N ∈ ℕ tel que, pour tout n ≥ N, |un − ℓ| ≤ ε. On note lim un = ℓ ou un → ℓ.
4. Les théorèmes de convergence
Trois outils font l'essentiel des exercices. Le théorème des gendarmes : si vn ≤ un ≤ wn à partir d'un rang et si (vn) et (wn) convergent vers la même limite ℓ, alors un → ℓ ; version divergente : si un ≥ vn et vn → +∞ alors un → +∞. Le théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge (vers sa borne supérieure), toute suite décroissante et minorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers +∞. Enfin deux suites sont adjacentes si l'une croît, l'autre décroît et leur différence tend vers 0 : elles convergent alors vers la même limite. Ce dernier résultat sert à prouver l'existence de e ou à encadrer une racine par dichotomie.
On rencontre aussi les suites extraites : si (un) converge vers ℓ, toute sous-suite (u2n), (u2n+1)… converge vers ℓ. Réciproquement, si (u2n) et (u2n+1) ont la même limite, la suite converge ; si elles ont des limites différentes, la suite diverge — c'est ainsi que l'on prouve la divergence de (−1)n. Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que toute suite bornée admet une sous-suite convergente.
5. Suites récurrentes u(n+1) = f(u(n))
Pour une suite définie par u0 et un+1 = f(un), la méthode est toujours la même. (1) Montrer par récurrence que la suite est bien définie et reste dans un intervalle I stable par f (f(I) ⊂ I). (2) Étudier la monotonie : si f est croissante sur I, la suite est monotone, croissante lorsque u1 ≥ u0, ce qui revient souvent au signe de f(x) − x sur I ; si f est décroissante, les sous-suites paires et impaires sont monotones de sens contraires. (3) Conclure par le théorème de la limite monotone. (4) Identifier la limite : si f est continue et un → ℓ ∈ I, alors ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ (point fixe) ; on retient la solution compatible avec l'encadrement obtenu. Exemple : un+1 = √(2 + un) avec u0 = 0 est croissante, majorée par 2 et converge vers 2, unique point fixe positif.
| Arithmétique (raison r) | Géométrique (raison q) | |
|---|---|---|
| Récurrence | u<sub>n+1</sub> = u<sub>n</sub> + r | u<sub>n+1</sub> = q·u<sub>n</sub> |
| Terme général | u<sub>n</sub> = u<sub>0</sub> + nr | u<sub>n</sub> = u<sub>0</sub>·q<sup>n</sup> |
| Somme u<sub>0</sub> + … + u<sub>n</sub> | (n + 1)(u<sub>0</sub> + u<sub>n</sub>)/2 | u<sub>0</sub>(1 − q<sup>n+1</sup>)/(1 − q), q ≠ 1 |
| Limite | ±∞ selon le signe de r (constante si r = 0) | 0 si |q| < 1 ; ±∞ ou divergence sinon |
Les deux suites de référence
- Convergence : pour tout ε > 0, |u<sub>n</sub> − ℓ| ≤ ε à partir d'un rang N ; la limite est unique et la suite bornée.
- Gendarmes : encadrement par deux suites de même limite.
- Croissante et majorée ⇒ convergente ; décroissante et minorée ⇒ convergente.
- Suites adjacentes ⇒ même limite ; sous-suites paire et impaire de limites différentes ⇒ divergence.
- Récurrente u<sub>n+1</sub> = f(u<sub>n</sub>) : intervalle stable, monotonie, convergence, puis f(ℓ) = ℓ.
- Croissances comparées : ln n ≪ n<sup>α</sup> ≪ a<sup>n</sup> ≪ n! (a > 1, α > 0).
Le grand classique des examens de Mathématiques S1 : une suite récurrente en quatre questions (encadrement par récurrence, monotonie, convergence, limite par point fixe), souvent avec une racine carrée ou une fraction. Rédige la récurrence complètement, ne conclus jamais « la suite converge donc la limite est le point fixe » sans avoir prouvé la convergence, et justifie la continuité de f avant de passer à la limite. Les questions de cours portent sur la définition de la limite et l'énoncé du théorème des gendarmes.