Tout le module repose sur l'ensemble des nombres réels ℝ et sur sa propriété fondamentale : toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure. Ce chapitre fixe le vocabulaire (intervalles, valeur absolue, majorant, minorant, sup, inf), rappelle la partie entière et les techniques de raisonnement. Les exercices sur les bornes reviennent chaque année dans les contrôles de Mathématiques S1.
1. Les ensembles de nombres
On construit les nombres par emboîtements successifs : ℕ (entiers naturels 0, 1, 2…) ⊂ ℤ (entiers relatifs) ⊂ ℚ (rationnels, quotients p/q avec q ≠ 0) ⊂ ℝ (réels). Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : √2, π et e en sont les exemples classiques. La preuve de l'irrationalité de √2 se fait par l'absurde : si √2 = p/q avec une fraction irréductible, alors p2 = 2q2, donc p est pair, donc q est pair, ce qui contredit l'irréductibilité.
ℝ est un corps totalement ordonné : on peut additionner, multiplier, diviser par un non-nul, et comparer deux réels quelconques. La relation ≤ est compatible avec l'addition (a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c) et avec la multiplication par un réel positif ; multiplier par un négatif renverse l'inégalité — première source d'erreurs en TD.
2. Valeur absolue et intervalles
La valeur absolue |x| vaut x si x ≥ 0 et −x sinon ; elle mesure la distance de x à 0, et |x − a| la distance entre x et a. Propriétés à connaître : |xy| = |x|·|y|, |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, et surtout l'inégalité triangulaire |x + y| ≤ |x| + |y|, avec sa variante | |x| − |y| | ≤ |x − y|. Les intervalles sont les parties I de ℝ telles que si a, b ∈ I alors tout réel compris entre a et b est dans I : segments [a, b], intervalles ouverts ]a, b[, semi-ouverts, demi-droites [a, +∞[ et ℝ lui-même. Résoudre |x − 3| < 2 revient à écrire x ∈ ]1, 5[.
3. Majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure
Soit A une partie non vide de ℝ. Un réel M est un majorant de A si x ≤ M pour tout x ∈ A ; A est majorée si elle admet un majorant, minorée si elle admet un minorant, bornée si elle est les deux. Quand un majorant appartient à A, c'est le maximum (plus grand élément), unique s'il existe. La borne supérieure sup A est le plus petit des majorants ; la borne inférieure inf A est le plus grand des minorants.
Exemple central : A = ]0, 1[ n'a ni maximum ni minimum, mais sup A = 1 et inf A = 0. Pour A = {1/n, n ∈ ℕ*}, le maximum est 1 (atteint pour n = 1) tandis que inf A = 0 n'est pas un minimum, puisque 1/n n'est jamais nul. Retenir la distinction : un maximum est toujours une borne supérieure, mais une borne supérieure n'est un maximum que si elle appartient à l'ensemble.
sup A est le plus petit majorant de A. Caractérisation : M = sup A si et seulement si M majore A et, pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que M − ε < x ≤ M.
4. La propriété de la borne supérieure
Le théorème fondateur de l'analyse : toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure (et toute partie non vide minorée admet une borne inférieure). Cette propriété distingue ℝ de ℚ : l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est majoré dans ℚ mais n'y a pas de borne supérieure, car celle-ci devrait être √2. Elle est aussi la clé de deux résultats majeurs : ℝ est archimédien (pour tout réel x, il existe un entier n > x) et ℚ est dense dans ℝ (entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel, et aussi un irrationnel).
La partie entière E(x) (notée aussi ⌊x⌋) est l'unique entier n tel que n ≤ x < n + 1 ; par exemple E(2,7) = 2 et E(−2,7) = −3, piège fréquent. Elle sert à construire, pour tout réel x, une suite de décimaux (les valeurs approchées à 10−n près) qui converge vers x : c'est ainsi que l'on démontre la densité de ℚ.
5. Les modes de raisonnement
Quatre schémas structurent toutes les démonstrations du semestre. Le raisonnement par récurrence prouve une propriété P(n) pour tout n ≥ n0 : on vérifie P(n0) (initialisation), on montre que P(n) ⇒ P(n + 1) (hérédité) et l'on conclut. Le raisonnement par l'absurde suppose la négation du résultat et aboutit à une contradiction. La contraposée remplace « P ⇒ Q » par « non Q ⇒ non P », équivalente et souvent plus simple. Enfin le contre-exemple suffit à réfuter un énoncé universel : « toute partie minorée a un minimum » est faux, comme le montre ]0, 1[.
| Ensemble A | Majoré ? | sup A | Maximum ? |
|---|---|---|---|
| [0, 1] | oui | 1 | oui (1 ∈ A) |
| ]0, 1[ | oui | 1 | non |
| {1/n, n ≥ 1} | oui | 1 | oui ; inf = 0 non atteint |
| {(−1)<sup>n</sup> + 1/n, n ≥ 1} | oui | 3/2 | oui (n = 2) |
| ℕ | non | n'existe pas | non |
Maximum ou borne supérieure ? Les exemples à connaître
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; √2 est irrationnel (preuve par l'absurde).
- |x + y| ≤ |x| + |y| ; |x − a| < r ⇔ x ∈ ]a − r, a + r[.
- sup A = plus petit majorant, inf A = plus grand minorant ; un max est un sup atteint.
- Toute partie non vide majorée de ℝ admet une borne supérieure (faux dans ℚ).
- ℚ est dense dans ℝ ; E(x) est l'entier n tel que n ≤ x < n + 1.
- Récurrence = initialisation + hérédité ; un contre-exemple réfute un énoncé universel.
L'exercice type : « Montrer que A est majoré et minoré, en déduire que A admet une borne supérieure et une borne inférieure, puis les déterminer ; sont-elles atteintes ? » Applique la caractérisation avec ε ou une suite de A qui tend vers la borne. Piège classique : confondre sup et max, ou oublier de vérifier que l'ensemble est non vide avant d'invoquer la propriété de la borne supérieure. Une question d'irrationalité (√2, √3, √2 + √3) tombe aussi régulièrement.