Les surfaces sphériques sont le cœur calculatoire du module : dioptre sphérique et miroir sphérique fournissent les relations de conjugaison dont les lentilles ne sont qu'une combinaison. Ce chapitre pose les conditions de Gauss, les conventions de signe, les foyers et les constructions graphiques. C'est le chapitre le plus rentable pour les points d'examen.
1. Conditions de Gauss et conventions de signe
Aucune surface sphérique n'est rigoureusement stigmatique. On obtient cependant un stigmatisme approché en se limitant aux rayons paraxiaux : rayons peu inclinés sur l'axe optique et rencontrant la surface près du sommet S. Ce sont les conditions de Gauss, qui permettent d'écrire sin i ≈ tan i ≈ i (angles en radians) et donc de linéariser toutes les relations. Hors de ces conditions apparaissent les aberrations géométriques (aberration sphérique, coma, astigmatisme), auxquelles s'ajoutent les aberrations chromatiques dues à la dispersion. En pratique, on diaphragme le système pour rester dans les conditions de Gauss.
Toutes les grandeurs sont des mesures algébriques sur un axe orienté dans le sens de propagation de la lumière incidente, avec une origine explicitement choisie (le plus souvent le sommet S). Les distances transversales sont comptées positivement vers le haut. Un signe oublié fausse toute la suite : c'est la première cause de perte de points.
2. Le dioptre sphérique : conjugaison et foyers
Un dioptre sphérique est constitué par deux milieux transparents homogènes d'indices n et n' séparés par une surface sphérique. Il est caractérisé par son sommet S, son centre C, son rayon de courbure R = SC, et son axe principal porté par (SC). Dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison avec origine au sommet s'écrit : n'/SA' − n/SA = (n' − n)/SC. Le grandissement transversal vaut γ = A'B'/AB = (n·SA')/(n'·SA). Un dioptre est dit convergent lorsque son centre C se trouve dans le milieu le plus réfringent, divergent dans le cas contraire.
Le foyer objet F est le point de l'axe dont l'image est rejetée à l'infini : SF = f = −n·SC/(n' − n). Le foyer image F' est l'image d'un point objet situé à l'infini : SF' = f' = n'·SC/(n' − n). On en déduit deux relations à connaître : f/f' = −n/n' et f + f' = SC. Les deux foyers sont donc toujours de part et d'autre du sommet. Le dioptre est convergent si f' > 0, divergent si f' < 0. On appelle vergence la quantité V = n'/f' = −n/f, exprimée en dioptries (δ) lorsque les longueurs sont en mètres.
3. Le miroir sphérique
Un miroir sphérique est une calotte sphérique dont une face est réfléchissante, de sommet S et de centre C. Il est concave (convergent) si la face réfléchissante est du même côté que le centre, convexe (divergent) sinon. On obtient ses formules à partir de celles du dioptre sphérique en posant n' = −n, ce qui traduit le retour de la lumière dans le milieu initial. La relation de conjugaison avec origine au sommet devient 1/SA' + 1/SA = 2/SC, et le grandissement γ = −SA'/SA. Les deux foyers sont confondus au milieu de SC : SF = SF' = SC/2 = R/2. Avec origine au centre, la relation prend la forme équivalente 1/CA + 1/CA' = 2/CS.
Un miroir concave (f' > 0 avec la convention usuelle) donne d'un objet réel très éloigné une image réelle et renversée au foyer ; d'un objet placé entre le foyer et le sommet, il donne une image virtuelle, droite et agrandie, propriété du miroir de maquillage et du miroir de dentiste. Un miroir convexe donne toujours d'un objet réel une image virtuelle, droite et réduite, avec un champ d'observation très large : c'est le miroir de surveillance et le rétroviseur bombé.
4. Constructions graphiques
Pour construire l'image B' d'un point B hors de l'axe, on utilise deux rayons particuliers parmi les trois suivants. Pour un miroir sphérique : le rayon parallèle à l'axe se réfléchit en passant par le foyer F' ; le rayon passant par le foyer F se réfléchit parallèlement à l'axe ; le rayon passant par le centre C revient sur lui-même car il rencontre le miroir sous incidence normale. Pour un dioptre sphérique, on remplace le troisième par le rayon passant par C qui n'est pas dévié, et on utilise les plans focaux pour tracer un rayon quelconque. L'image obtenue est réelle si elle est formée par les rayons eux-mêmes, virtuelle si elle l'est par leurs prolongements en pointillés.
Approximation paraxiale : rayons faiblement inclinés sur l'axe optique et proches de celui-ci, permettant d'assimiler sin i et tan i à i et d'obtenir un stigmatisme approché.
Point de l'axe où converge (ou d'où semble diverger) un faisceau incident parallèle à l'axe optique ; c'est l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe.
| Système | Relation de conjugaison | Foyers | Grandissement |
|---|---|---|---|
| Dioptre sphérique | n'/SA' − n/SA = (n' − n)/SC | f' = n'·SC/(n' − n), f/f' = −n/n' | γ = n·SA'/(n'·SA) |
| Miroir sphérique | 1/SA' + 1/SA = 2/SC | SF = SF' = SC/2 | γ = −SA'/SA |
| Dioptre plan (rappel) | SA'/n' = SA/n | pas de foyer | γ = +1 |
| Miroir plan (rappel) | SA' = −SA | pas de foyer | γ = +1 |
Formules des surfaces sphériques (origine au sommet S)
- Le stigmatisme des surfaces sphériques n'est qu'approché : il exige les conditions de Gauss.
- Dioptre sphérique : n'/SA' − n/SA = (n' − n)/SC, avec f + f' = SC et f/f' = −n/n'.
- Miroir sphérique : 1/SA' + 1/SA = 2/SC et SF = SF' = SC/2 = R/2.
- Grandissement : γ = n·SA'/(n'·SA) pour le dioptre, γ = −SA'/SA pour le miroir.
- Trois rayons de construction : parallèle à l'axe, passant par le foyer, passant par le centre.
- Miroir convexe et objet réel → image toujours virtuelle, droite et plus petite.
L'exercice type impose une position d'objet et demande position, nature, sens et taille de l'image, puis la construction graphique correspondante. Écris toujours la relation de conjugaison littérale avant de remplacer, et donne la nature de l'image à partir du signe de SA' (réelle si elle est du côté de la lumière émergente) et le sens à partir du signe de γ. Le piège classique est le miroir traité avec la formule du dioptre sans poser n' = −n, ou l'oubli des unités en dioptries pour la vergence.