La biostatistique applique les méthodes de la statistique à la biologie, à la médecine et aux sciences de la Terre : décrire un ensemble de données, puis estimer des paramètres et tester des hypothèses à partir d'un échantillon. Ce premier chapitre pose le vocabulaire de base — population, échantillon, variable, effectif, fréquence — et les outils de la statistique descriptive, indispensables pour aborder les probabilités et les tests des chapitres suivants.
1. Qu'est-ce que la biostatistique ?
La biostatistique (mot-valise issu de biologie et statistique) est l'application de la démarche statistique aux données du vivant : taille et poids d'une population animale, dosage biologique, résultats d'expérience, enquête épidémiologique. On distingue deux grandes branches : la statistique descriptive, qui résume, organise et représente un ensemble de données observées (celle de ce chapitre et du suivant), et la statistique inférentielle, qui généralise à une population les conclusions tirées d'un échantillon, à l'aide des probabilités, de l'estimation et des tests d'hypothèses (chapitres 3 à 6).
2. Population, échantillon et variables statistiques
La population (ou univers statistique) est l'ensemble complet des individus concernés par une étude ; un individu (ou unité statistique) en est un élément. Étudier tous les individus de la population s'appelle un recensement ; en pratique, on étudie le plus souvent un échantillon, sous-ensemble de la population, obtenu par un sondage. Pour que les conclusions tirées de l'échantillon s'appliquent à la population entière, l'échantillon doit être représentatif, ce que garantit au mieux un tirage aléatoire (chaque individu a la même chance d'être choisi).
Sur chaque individu, on observe une ou plusieurs variables statistiques (ou caractères). Une variable qualitative décrit une catégorie non mesurable : elle est nominale si les catégories ne sont pas ordonnées (groupe sanguin, espèce) et ordinale si elles le sont (stade de gravité, niveau d'infestation). Une variable quantitative prend des valeurs numériques : elle est discrète si elle ne prend que des valeurs isolées, en général des entiers (nombre de rejetons, nombre de feuilles), et continue si elle peut prendre, en théorie, toute valeur d'un intervalle (taille, poids, concentration, durée).
3. Organisation des données : tableaux d'effectifs et de fréquences
Le premier travail sur des données brutes est de les regrouper dans un tableau statistique. Pour chaque valeur ou classe de valeurs xi, on compte l'effectif ni (nombre d'individus qui présentent cette valeur) ; la somme des effectifs redonne la taille N de l'échantillon. La fréquence relative fi = ni / N (souvent exprimée en pourcentage) permet de comparer des échantillons de tailles différentes. Pour une variable continue, on regroupe les valeurs en classes de même amplitude (largeur de l'intervalle) ; chaque classe est représentée par son centre de classe, utilisé ensuite pour les calculs de moyenne et de variance. Le nombre de classes est un compromis : trop peu de classes masque la forme de la distribution, trop de classes disperse les effectifs et rend le tableau difficile à lire ; on choisit en pratique un nombre de classes raisonnable au regard de la taille de l'échantillon.
4. Les représentations graphiques
Le choix du graphique dépend de la nature de la variable. Une variable qualitative se représente par un diagramme en secteurs (camembert) ou un diagramme en tuyaux d'orgue (barres séparées, une par catégorie). Une variable quantitative discrète se représente par un diagramme en bâtons, où la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur. Une variable quantitative continue se représente par un histogramme : des rectangles jointifs dont la surface — et non la seule hauteur, si les classes n'ont pas toutes la même amplitude — est proportionnelle à l'effectif de la classe. Contrairement au diagramme en bâtons, les rectangles de l'histogramme sont jointifs et non séparés, car la variable continue ne présente pas de « vide » entre deux classes voisines ; c'est une source fréquente de confusion à l'examen.
5. Effectifs et fréquences cumulés
L'effectif cumulé croissant d'une valeur (ou d'une classe) additionne les effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales ; l'effectif cumulé décroissant fait de même vers le haut. Reportés en fréquences, ils tracent la courbe cumulative, qui permet de lire graphiquement la proportion d'individus en dessous (ou au-dessus) d'un seuil donné, et sert à déterminer graphiquement la médiane du chapitre suivant. Cette courbe est toujours croissante (ou décroissante) et son dernier point correspond à l'effectif total N, ce qui offre un moyen simple de vérifier qu'aucun individu n'a été oublié dans le tableau.
La population est l'ensemble complet des individus étudiés ; l'échantillon est un sous-ensemble de cette population, sur lequel portent réellement les observations et les calculs.
Rapport fi = ni / N entre l'effectif d'une valeur (ou d'une classe) et l'effectif total de l'échantillon ; la somme des fréquences relatives vaut toujours 1 (ou 100 %).
| Type | Exemples | Représentation graphique |
|---|---|---|
| Qualitative nominale | Groupe sanguin, espèce | Secteurs, tuyaux d'orgue |
| Qualitative ordinale | Stade de gravité, niveau d'infestation | Tuyaux d'orgue ordonnés |
| Quantitative discrète | Nombre de rejetons, nombre d'œufs | Diagramme en bâtons |
| Quantitative continue | Taille, poids, concentration | Histogramme |
Les quatre types de variables statistiques
- Population = ensemble complet ; échantillon = sous-ensemble étudié, représentatif si le tirage est aléatoire.
- Variable qualitative (nominale ou ordinale) vs quantitative (discrète ou continue) : le type impose le graphique.
- Effectif n<sub>i</sub> = nombre d'individus ; fréquence relative f<sub>i</sub> = n<sub>i</sub> / N, somme des f<sub>i</sub> = 1.
- Histogramme : la surface des rectangles est proportionnelle à l'effectif, pas seulement la hauteur.
- Effectifs cumulés croissants ou décroissants : lecture graphique de la médiane et des quantiles.
Les premières questions d'un contrôle de Biostatistique S6 demandent presque toujours d'identifier le type d'une variable (discrète ou continue, qualitative nominale ou ordinale) avant de choisir le graphique adapté. Piège classique : tracer un diagramme en bâtons pour une variable continue, ou confondre effectif et fréquence dans la lecture d'un tableau.