Les probabilités fournissent le cadre théorique qui relie la statistique descriptive des deux premiers chapitres aux tests d'hypothèses des chapitres suivants : elles permettent de raisonner sur le hasard, d'attribuer une chance à un événement et de définir des variables aléatoires. Ce chapitre pose le vocabulaire des probabilités (événement, probabilité conditionnelle, indépendance) et introduit les variables aléatoires discrètes, préalable indispensable aux lois de probabilité du chapitre 4.
1. Expérience aléatoire, univers et événements
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat n'est pas prévisible avec certitude, bien que l'ensemble des résultats possibles soit connu (tirage d'un individu, dosage d'un échantillon). L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers Ω ; un événement est un sous-ensemble de Ω. Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément ; l'événement contraire d'un événement A, noté Ā, se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Un événement élémentaire ne contient qu'un seul résultat possible de l'univers, tandis qu'un événement composé en regroupe plusieurs ; l'univers Ω lui-même et l'ensemble vide ∅ sont les deux événements extrêmes, respectivement certain et impossible.
2. Le calcul des probabilités
La probabilité P(A) d'un événement A est un nombre compris entre 0 et 1 (0 % à 100 %) qui mesure sa chance de réalisation ; P(Ω) = 1 et P(∅) = 0. Pour deux événements incompatibles, la probabilité de leur réunion s'additionne : P(A ou B) = P(A) + P(B). Dans le cas général, P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B), le dernier terme évitant de compter deux fois l'intersection. La probabilité de l'événement contraire vaut P(Ā) = 1 − P(A). Lorsque l'univers Ω comporte un nombre fini de résultats équiprobables (chacun a la même chance de se produire), on retrouve la définition classique de Laplace : P(A) = nombre de résultats favorables à A / nombre total de résultats possibles.
3. Probabilité conditionnelle et indépendance
La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P(A|B), mesure la probabilité que A se réalise sachant que B s'est déjà réalisé : P(A|B) = P(A et B) / P(B), avec P(B) différent de 0. Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire P(A|B) = P(A) ; dans ce cas, la probabilité de leur intersection se factorise simplement : P(A et B) = P(A) × P(B). L'indépendance est une hypothèse centrale en biostatistique, notamment pour l'échantillonnage aléatoire du chapitre 5.
4. Les variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire associe une valeur numérique à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Elle est discrète si elle ne prend qu'un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs, chacune affectée d'une probabilité : l'ensemble de ces couples (valeur, probabilité) forme la loi de probabilité de la variable, avec la somme de toutes les probabilités égale à 1. On lui associe deux paramètres : l'espérance mathématique E(X), moyenne théorique pondérée par les probabilités, et la variance V(X), qui mesure la dispersion théorique autour de E(X) — les équivalents, pour une loi de probabilité, de la moyenne et de la variance de la statistique descriptive.
5. Arbre de probabilités et théorème des probabilités totales
Un arbre de probabilités représente les étapes successives d'une expérience et facilite le calcul d'événements composés à l'aide des probabilités conditionnelles. Lorsqu'un événement B ne peut se réaliser qu'en passant par l'un des événements A1, A2, … qui partitionnent l'univers (chaque résultat appartient à un seul Ai), le théorème des probabilités totales décompose sa probabilité : P(B) = Σ P(Ai) × P(B|Ai). Ce raisonnement est très utilisé pour combiner un résultat de test diagnostique et la prévalence d'une maladie dans une population. Sur un arbre, chaque branche porte une probabilité conditionnelle et la probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin ; à chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut toujours 1.
Probabilité qu'un événement A se réalise sachant qu'un autre événement B s'est déjà réalisé : P(A|B) = P(A et B) / P(B).
Valeur moyenne théorique d'une variable aléatoire, obtenue en pondérant chaque valeur possible par sa probabilité ; c'est l'équivalent théorique de la moyenne arithmétique.
| Notion | Définition | Formule |
|---|---|---|
| Événement contraire | A ne se réalise pas | P(Ā) = 1 − P(A) |
| Événements incompatibles | A et B ne peuvent coexister | P(A ou B) = P(A) + P(B) |
| Événements quelconques | A et B peuvent coexister | P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B) |
| Événements indépendants | La réalisation de A ne change pas P(B) | P(A et B) = P(A) × P(B) |
Événements : vocabulaire à ne pas confondre
- P(A) est compris entre 0 et 1 ; P(Ω) = 1 ; P(Ā) = 1 − P(A).
- Événements incompatibles : P(A ou B) = P(A) + P(B) ; cas général : on soustrait P(A et B).
- Probabilité conditionnelle P(A|B) = P(A et B) / P(B) ; indépendance ⇔ P(A et B) = P(A) × P(B).
- Une variable aléatoire discrète est définie par sa loi de probabilité, son espérance E(X) et sa variance V(X).
- Théorème des probabilités totales : décompose P(B) selon une partition de l'univers en événements A<sub>i</sub>.
Les exercices classiques combinent un arbre de probabilités et le calcul d'une probabilité conditionnelle, souvent à propos d'un test de dépistage (sensibilité, prévalence). Piège fréquent : confondre P(A|B) et P(B|A), ou appliquer la formule des événements incompatibles à des événements qui ne le sont pas — vérifie toujours si A et B peuvent se produire ensemble avant de choisir la formule.