Le modèle de Bohr et le spectre de l'atome d'hydrogène

Pourquoi l'hydrogène excité n'émet-il que quelques couleurs bien précises ? Le modèle de Bohr (1913) répond en quantifiant l'énergie de l'électron. Ce chapitre relie le spectre de raies, la formule de Ritz et l'expression E_n = −13,6/n² eV — la formule la plus utilisée dans les exercices d'atomistique du S1.

1. Le spectre d'émission de l'hydrogène

Au repos, la matière n'émet rien ; excité par une décharge électrique, l'hydrogène émet une lumière qui, dispersée par un prisme, ne donne pas un arc-en-ciel continu mais un spectre de raies discontinu. Dans le visible, quatre raies constituent la série de Balmer : rouge (656 nm), bleu (486 nm), indigo (434 nm) et violet (410 nm). Balmer (1885) puis Ritz (1908) ont montré que toutes les raies obéissent à une loi empirique unique, la formule de Ritz : 1/λ = R_H (1/n² − 1/m²) avec m > n, où R_H ≈ 1,097 × 10⁷ m⁻¹ est la constante de Rydberg. Chaque valeur de n définit une série : n = 1 Lyman (UV), n = 2 Balmer (visible), n = 3 Paschen, n = 4 Brackett et n = 5 Pfund (infrarouge).

2. Les postulats de Bohr

En mécanique classique, un électron en orbite circulaire rayonnerait continûment et s'écraserait sur le noyau : l'énergie serait une fonction continue du rayon, incompatible avec un spectre discontinu. Bohr pose donc trois hypothèses. Premier postulat : l'électron ne peut occuper que certaines orbites circulaires stationnaires, sur lesquelles il ne rayonne pas. Deuxième postulat : sur ces orbites, le moment cinétique est quantifié, m·v·r = n·h/2π avec n entier. Troisième postulat : l'atome n'échange de l'énergie que lors d'une transition entre deux niveaux, en absorbant ou en émettant un photon d'énergie ΔE = E_m − E_n = hν = hc/λ (théorie des quanta de Planck, h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s).

3. Rayon et énergie des orbites

En égalant la force électrostatique de Coulomb et la force centripète, puis en imposant la condition de quantification, on obtient pour l'hydrogène un rayon r_n = a₀ × n² avec a₀ ≈ 0,529 Å (rayon de Bohr), et une énergie E_n = −E₀/n² = −13,6/n² eV. Le signe négatif traduit un électron lié : l'énergie de référence E = 0 correspond à l'électron arraché à l'infini. Ainsi E₁ = −13,6 eV (état fondamental), E₂ = −3,4 eV, E₃ = −1,51 eV, E₄ = −0,85 eV : les niveaux se resserrent quand n augmente. L'énergie d'ionisation de l'hydrogène vaut E_∞ − E₁ = 13,6 eV (1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J).

Le modèle retrouve théoriquement la formule de Ritz : ΔE = 13,6 (1/n² − 1/m²) eV, et la constante de Rydberg calculée coïncide avec la valeur expérimentale — d'où le succès historique du modèle. Exemple à savoir refaire : la transition 3 → 2 libère E₃ − E₂ = 1,89 eV = 3,02 × 10⁻¹⁹ J, soit λ = hc/ΔE ≈ 656 nm, la raie rouge de Balmer.

4. Extension aux hydrogénoïdes

Un hydrogénoïde est un ion ne possédant qu'un seul électron autour d'un noyau de charge +Ze : He⁺, Li²⁺, Be³⁺… La démonstration de Bohr reste valable en remplaçant e² par Ze², ce qui donne E_n = −13,6 × Z²/n² eV et r_n = a₀ × n²/Z. Pour He⁺ (Z = 2), l'énergie d'ionisation vaut donc 13,6 × 4 = 54,4 eV. Le modèle échoue en revanche dès qu'il y a plusieurs électrons : les répulsions interélectroniques ne sont pas prises en compte.

5. Limites du modèle et passage à la mécanique ondulatoire

Le modèle de Bohr n'explique ni l'intensité des raies, ni leur dédoublement en champ magnétique, ni le spectre des atomes polyélectroniques. De Broglie (1924) associe à toute particule une onde de longueur λ = h/(m·v) ; Heisenberg montre qu'on ne peut connaître simultanément position et vitesse de l'électron avec précision. La notion de trajectoire disparaît au profit d'une probabilité de présence décrite par la fonction d'onde de Schrödinger : c'est le modèle quantique du chapitre suivant. Les résultats énergétiques de Bohr pour l'hydrogène restent toutefois exacts.