Statistique descriptive à une dimension

La statistique descriptive résume une série d'observations portant sur un seul caractère : tableau, graphique, puis quelques nombres (moyenne, médiane, écart-type) qui condensent l'information. Ce chapitre fixe le vocabulaire et les formules que tu réutiliseras dans tout le module — et qui constituent systématiquement le premier exercice de l'examen de Statistiques S3.

1. Le vocabulaire de base

La population (notée Ω) est l'ensemble de tous les éléments concernés par l'étude ; chacun d'eux est un individu ou unité statistique (un étudiant, une souris, une parcelle). Un échantillon est un sous-ensemble de la population sur lequel on réalise effectivement les mesures ; sa taille n est le nombre d'individus qu'il contient. Une enquête portant sur toute la population est un recensement, une enquête portant sur une partie seulement est un sondage.

Le caractère (ou variable) est la propriété observée sur chaque individu : la taille, le groupe sanguin, le nombre de petits par portée. Les valeurs possibles d'un caractère sont ses modalités ; elles doivent être incompatibles (un individu n'a qu'une modalité) et exhaustives (chaque individu en a une).

2. Les types de variables

Une variable est qualitative quand ses modalités expriment une qualité et non une quantité. Elle est nominale si les modalités ne sont pas ordonnées (groupe sanguin A, B, AB, O ; couleur des yeux), ordinale si elles le sont (niveau d'étude, stade d'une maladie : léger, modéré, sévère). Le cas particulier d'une variable à deux modalités (malade / sain, succès / échec) est dit binaire ; on code souvent 0 et 1.

Une variable est quantitative quand ses modalités sont des nombres sur lesquels les opérations ont un sens. Elle est discrète si elle ne prend que des valeurs isolées, en général entières (nombre d'enfants, nombre de colonies sur une boîte de Petri), et continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (taille, masse, glycémie, température). Une variable continue est toujours regroupée en classes [a_i ; a_i+1[ avant d'être traitée.

3. Les tableaux statistiques

Pour chaque modalité x_i on compte l'effectif n_i (nombre d'individus présentant cette modalité), avec Σ n_i = n. La fréquence f_i = n_i / n est comprise entre 0 et 1 et la somme des fréquences vaut 1 (ou 100 %). Pour une variable au moins ordinale, on ajoute les effectifs cumulés croissants N_i = n₁ + … + n_i et les fréquences cumulées F_i = f₁ + … + f_i, qui répondent à la question « combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à x_i ? ».

Pour une variable continue en classes, chaque classe est représentée par son centre c_i = (a_i + a_i+1) / 2, utilisé dans tous les calculs, et par son amplitude a_i+1 − a_i. Quand les amplitudes sont inégales, on raisonne sur la densité de fréquence d_i = f_i / amplitude, sinon l'histogramme est faux.

4. Les représentations graphiques

Le graphique dépend du type de variable. Variable qualitative : diagramme en secteurs (camembert, angle proportionnel à f_i : 360° × f_i) ou diagramme en tuyaux d'orgue. Variable discrète : diagramme en bâtons (hauteur = effectif) et courbe cumulative en escalier. Variable continue : histogramme — des rectangles jointifs dont la surface (et non la hauteur) est proportionnelle à l'effectif — complété par le polygone des fréquences (on joint les milieux des sommets) et par la courbe cumulative, obtenue en joignant les points (a_i+1 ; F_i), qui sert à lire graphiquement la médiane et les quartiles.

5. Les paramètres de position

Le mode M_o est la modalité d'effectif maximal ; pour une variable en classes on parle de classe modale (celle de plus forte densité). La médiane M_e partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux : pour n impair c'est la valeur de rang (n+1)/2, pour n pair la demi-somme des valeurs de rangs n/2 et n/2 + 1. Pour une variable en classes on repère la classe médiane (la première où F_i atteint 0,5) puis on interpole linéairement à l'intérieur : M_e = a_i + amplitude × (0,5 − F_i−1) / (F_i − F_i−1). Les quartiles Q₁ et Q₃ se calculent de la même façon avec 0,25 et 0,75.

La moyenne arithmétique x̄ = (1/n) Σ n_i x_i = Σ f_i x_i (avec les centres de classes pour une variable continue) est le paramètre le plus utilisé, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la médiane. Une distribution symétrique donne x̄ ≈ M_e ≈ M_o ; si x̄ > M_e, la distribution est étalée vers la droite.

6. Les paramètres de dispersion

L'étendue (max − min) et l'intervalle interquartile Q₃ − Q₁ (qui contient 50 % des observations centrales) sont les mesures les plus simples. La variance V(x) = σ² = (1/n) Σ n_i (x_i − x̄)² mesure la dispersion autour de la moyenne ; on la calcule en pratique avec la formule développée σ² = (1/n) Σ n_i x_i² − x̄² (moyenne des carrés moins carré de la moyenne). L'écart-type σ = √V(x) a la même unité que la variable. Pour comparer des séries d'unités ou d'ordres de grandeur différents, on utilise le coefficient de variation CV = σ / x̄, sans unité et souvent exprimé en pourcentage.