Quand on mesure deux caractères sur les mêmes individus — la taille et la masse, la dose d'un engrais et le rendement — on veut savoir s'ils sont liés et, si oui, prédire l'un à partir de l'autre. Ce chapitre présente le tableau de contingence, la covariance, le coefficient de corrélation linéaire et la droite de régression, un calcul qui tombe presque chaque année à l'examen de Statistiques S3.
1. Série statistique double et tableau de contingence
Une série statistique double est la donnée de n couples (xi ; yi), une observation par individu. Quand les variables ont peu de modalités, on la résume dans un tableau de contingence (tableau à double entrée) : la case (i, j) contient l'effectif conjoint nij des individus présentant la modalité xi de X et yj de Y. Les totaux des lignes ni. et des colonnes n.j forment les distributions marginales de X et de Y — ce sont des séries à une dimension ordinaires, avec leurs moyennes x̄, ȳ et leurs variances.
Une ligne du tableau divisée par son total ni. donne la distribution conditionnelle de Y sachant X = xi. Si toutes les distributions conditionnelles sont identiques à la distribution marginale, les deux variables sont indépendantes ; on a alors nij = ni. × n.j / n pour toutes les cases. C'est ce critère que reprendra le test du khi-deux d'indépendance.
2. Nuage de points et covariance
Pour deux variables quantitatives, on trace d'abord le nuage de points (xi ; yi) : sa forme (allongée, en croissant, sans structure) indique s'il existe une liaison et si elle est linéaire. Le point moyen G(x̄ ; ȳ) est le centre de gravité du nuage. La covariance mesure la tendance des deux variables à varier ensemble : cov(x, y) = (1/n) Σ (xi − x̄)(yi − ȳ) = (1/n) Σ xiyi − x̄ȳ. Elle est positive si Y augmente en moyenne quand X augmente, négative dans le cas contraire, et nulle en cas d'indépendance (la réciproque est fausse).
3. Le coefficient de corrélation linéaire
La covariance dépend des unités ; on la normalise par les écarts-types pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire de Bravais-Pearson : r = cov(x, y) / (σx σy). Il est toujours compris entre −1 et +1 et il est sans unité. Sa valeur absolue mesure la force de la liaison linéaire, son signe en donne le sens : r = ±1 signifie que tous les points sont exactement alignés, r = 0 qu'il n'y a aucune liaison linéaire. Attention, r = 0 n'exclut pas une liaison non linéaire (parabolique par exemple), et une forte corrélation ne prouve jamais une causalité : deux variables peuvent dépendre d'un troisième facteur caché.
Le coefficient de détermination r2 s'interprète comme la part de la variance de Y expliquée par la relation linéaire avec X : r = 0,9 signifie que 81 % de la variabilité de Y est expliquée par X, les 19 % restants relevant d'autres facteurs et des erreurs de mesure.
4. La droite de régression par les moindres carrés
Quand le nuage est allongé, on cherche la droite Dy/x : y = a x + b qui « passe au mieux » à travers les points. La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux Σ (yi − a xi − b)2. On obtient la pente a = cov(x, y) / V(x) = cov(x, y) / σx2 et l'ordonnée à l'origine b = ȳ − a x̄ : la droite passe donc toujours par le point moyen G. La pente a a le signe de la covariance et de r ; elle s'interprète comme la variation moyenne de Y quand X augmente d'une unité.
La droite de régression de X en Y, Dx/y : x = a' y + b' avec a' = cov(x, y) / σy2, est une autre droite passant par G. Les deux droites sont d'autant plus proches que |r| est proche de 1, et l'on vérifie la relation a × a' = r2, utile pour contrôler ses calculs. Une fois la droite obtenue, on l'utilise pour prédire y pour une valeur x non observée — en restant dans l'intervalle des x mesurés, l'extrapolation n'étant pas justifiée.
5. Résidus et ajustements non linéaires
Le résidu ei = yi − (a xi + b) est l'écart entre la valeur observée et la valeur prédite ; la somme des résidus est nulle et leur variance résiduelle vaut σy2(1 − r2), ce qui montre bien le rôle de r2. Quand le nuage n'est pas rectiligne, on se ramène souvent au cas linéaire par un changement de variable : un modèle exponentiel y = k ecx (croissance bactérienne) devient linéaire en posant Y = ln y ; un modèle puissance y = k xc (relations allométriques) devient linéaire avec Y = ln y et X = ln x.
Moyenne des produits des écarts à la moyenne, cov(x, y) = (1/n) Σ xiyi − x̄ȳ. Son signe indique le sens de la liaison entre X et Y ; sa valeur dépend des unités.
Carré du coefficient de corrélation, r2 ∈ [0 ; 1] ; c'est la proportion de la variance de Y expliquée par la régression linéaire sur X.
| Valeur de |r| | Liaison linéaire | Nuage de points |
|---|---|---|
| |r| = 1 | Parfaite (fonctionnelle) | Points exactement alignés |
| 0,8 ≤ |r| < 1 | Forte | Nuage très allongé |
| 0,5 ≤ |r| < 0,8 | Moyenne | Nuage allongé mais dispersé |
| 0 < |r| < 0,5 | Faible | Nuage peu structuré |
| r = 0 | Aucune liaison linéaire | Nuage circulaire ou liaison non linéaire |
Lire un coefficient de corrélation
- Tableau de contingence : n<sub>ij</sub> effectifs conjoints, n<sub>i.</sub> et n<sub>.j</sub> marges ; indépendance si n<sub>ij</sub> = n<sub>i.</sub>n<sub>.j</sub>/n.
- cov(x, y) = (1/n) Σ x<sub>i</sub>y<sub>i</sub> − x̄ȳ ; son signe donne le sens de la liaison.
- r = cov / (σ<sub>x</sub>σ<sub>y</sub>), toujours entre −1 et 1 ; r² = part de variance expliquée.
- Droite des moindres carrés : a = cov / σ<sub>x</sub>², b = ȳ − a x̄, elle passe par le point moyen G.
- Corrélation n'est pas causalité, et r = 0 n'exclut pas une liaison non linéaire.
Le sujet type donne 6 à 10 couples (x, y) et demande le nuage, x̄, ȳ, σx, σy, la covariance, r, la droite de régression et une prédiction. Prépare un tableau à cinq colonnes (x, y, x², y², xy) avant tout calcul : c'est la méthode la plus sûre. Pièges : oublier de retrancher x̄ȳ dans la covariance, donner un r hors de [−1 ; 1] (erreur de calcul certaine), et interpréter r² comme un pourcentage de points « bien placés » au lieu d'une part de variance.