Une variable aléatoire traduit le résultat d'une expérience aléatoire en nombre : nombre de graines germées sur 10, nombre de mutations dans un génome, nombre de patients arrivant aux urgences en une heure. Ce chapitre définit la loi, la fonction de répartition, l'espérance et la variance d'une variable discrète, puis les lois usuelles — Bernoulli, binomiale, Poisson — que tu dois reconnaître dans un énoncé et savoir manipuler à l'examen de Statistiques S3.
1. Variable aléatoire discrète et loi de probabilité
Une variable aléatoire X est une application qui associe à chaque résultat ω de l'univers un nombre réel X(ω). Elle est discrète quand l'ensemble de ses valeurs X(Ω) = {x1, x2, …} est fini ou dénombrable. Sa loi de probabilité (ou distribution) est la donnée des probabilités pi = P(X = xi) pour chaque valeur, avec pi ≥ 0 et Σ pi = 1. On la présente sous forme de tableau xi / pi. Exemple classique : la somme S de deux dés prend les valeurs 2 à 12 avec P(S = 2) = 1/36, P(S = 7) = 6/36, P(S = 12) = 1/36 ; l'univers compte 36 couples équiprobables.
2. Fonction de répartition
La fonction de répartition FX(t) = P(X ≤ t) = Σxi ≤ t pi cumule les probabilités. Pour une variable discrète c'est une fonction en escalier, croissante, continue à droite, nulle avant la plus petite valeur et égale à 1 après la plus grande. Elle permet de calculer la probabilité de n'importe quel intervalle : P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a) et P(X > a) = 1 − F(a). C'est l'équivalent probabiliste des fréquences cumulées du chapitre 1.
3. Espérance, variance et écart-type
L'espérance E(X) = Σ xi pi est la valeur moyenne théorique de X, celle vers laquelle tend la moyenne observée sur un grand nombre de répétitions ; c'est l'analogue de x̄ où les fréquences sont remplacées par les probabilités. La variance V(X) = E[(X − E(X))2] = Σ (xi − E(X))2 pi se calcule avec la formule de Koenig : V(X) = E(X2) − [E(X)]2 où E(X2) = Σ xi2 pi. L'écart-type est σ(X) = √V(X).
Les propriétés à connaître : E(aX + b) = a E(X) + b et V(aX + b) = a2 V(X) (une constante ajoutée ne change pas la dispersion) ; E(X + Y) = E(X) + E(Y) toujours, mais V(X + Y) = V(X) + V(Y) seulement si X et Y sont indépendantes. La variable centrée réduite Z = (X − E(X)) / σ(X) a une espérance nulle et une variance égale à 1.
4. Lois de Bernoulli et binomiale
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec (q = 1 − p). La variable X qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli B(p) : E(X) = p, V(X) = pq. Si l'on répète n épreuves de Bernoulli indépendantes et de même p (tirages avec remise, ou population très grande), le nombre de succès X suit la loi binomiale B(n, p) : P(X = k) = Cnk pk qn−k pour k = 0, 1, …, n, avec E(X) = np et V(X) = npq. Exemple : la probabilité qu'exactement 3 graines germent sur 5 semées avec un taux de germination de 0,8 est C53 × 0,83 × 0,22 = 10 × 0,512 × 0,04 ≈ 0,205.
Quand les tirages se font sans remise dans une population finie de N individus dont M ont le caractère, le nombre de succès parmi n tirés suit la loi hypergéométrique H(N, M, n) ; elle tend vers la binomiale quand N est grand devant n (en pratique n/N < 0,1). Le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès suit la loi géométrique G(p) : P(X = k) = qk−1 p pour k ≥ 1, E(X) = 1/p, V(X) = q/p2.
5. Loi de Poisson
La loi de Poisson P(λ) est la loi des événements rares : nombre d'événements qui se produisent dans un intervalle de temps ou d'espace donné, quand ils sont indépendants et surviennent à un taux moyen constant λ (nombre de bactéries par champ de microscope, de mutations par génération, d'appels reçus par heure). P(X = k) = e−λ λk / k! pour k = 0, 1, 2, …, avec la propriété remarquable E(X) = V(X) = λ. La loi de Poisson sert d'approximation de la loi binomiale quand n est grand et p petit : on remplace B(n, p) par P(λ = np), avec en pratique n ≥ 30, p ≤ 0,1 et np < 5 (les seuils exacts varient selon les enseignants). La somme de deux variables de Poisson indépendantes P(λ1) et P(λ2) suit P(λ1 + λ2).
Ensemble des couples (xi ; pi) où pi = P(X = xi), avec pi ≥ 0 et Σ pi = 1. Elle détermine entièrement le comportement de la variable aléatoire.
Moyenne théorique E(X) = Σ xi pi d'une variable aléatoire, pondérée par les probabilités : valeur moyenne que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.
| Loi | Situation | P(X = k) | E(X) | V(X) |
|---|---|---|---|---|
| Bernoulli B(p) | Une épreuve à deux issues | p si k = 1, q si k = 0 | p | pq |
| Binomiale B(n, p) | n épreuves indépendantes, nombre de succès | C<sub>n</sub><sup>k</sup> p<sup>k</sup> q<sup>n−k</sup> | np | npq |
| Géométrique G(p) | Rang du premier succès | q<sup>k−1</sup> p | 1/p | q/p<sup>2</sup> |
| Poisson P(λ) | Événements rares, taux moyen λ | e<sup>−λ</sup> λ<sup>k</sup>/k! | λ | λ |
Les lois discrètes usuelles
- Loi discrète : tableau x<sub>i</sub>/p<sub>i</sub> avec Σ p<sub>i</sub> = 1 ; F(t) = P(X ≤ t), fonction en escalier.
- E(X) = Σ x<sub>i</sub>p<sub>i</sub> ; V(X) = E(X²) − [E(X)]² (Koenig) ; V(aX + b) = a²V(X).
- Binomiale B(n, p) : n épreuves indépendantes de même p, P(X = k) = C<sub>n</sub><sup>k</sup>p<sup>k</sup>q<sup>n−k</sup>, E = np, V = npq.
- Poisson P(λ) : événements rares, P(X = k) = e<sup>−λ</sup>λ<sup>k</sup>/k!, E = V = λ ; approche B(n, p) si n grand et p petit (λ = np).
- Sans remise dans une petite population → hypergéométrique ; rang du premier succès → géométrique.
L'examen demande presque toujours de reconnaître la loi à partir de l'énoncé (« on prélève 10 individus et on compte les malades » → binomiale ; « nombre moyen de 2 colonies par boîte » → Poisson), de justifier ses hypothèses (indépendance, même p), puis de calculer P(X = k), P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0), E(X) et V(X). Pièges : oublier Cnk, confondre « au moins un » et « exactement un », et appliquer l'approximation de Poisson quand p n'est pas petit.