Les mesures biologiques — taille, masse, glycémie, durée de vie — prennent toutes les valeurs d'un intervalle : on les modélise par des variables aléatoires continues, décrites par une densité. Ce chapitre présente la densité et la fonction de répartition, les lois uniforme et exponentielle, puis la loi normale, reine du module : la lecture de la table de la loi normale centrée réduite est indispensable pour l'examen de Statistiques S3 et pour les deux chapitres suivants.
1. Densité de probabilité et fonction de répartition
Une variable aléatoire X est continue (à densité) s'il existe une fonction f ≥ 0, appelée densité de probabilité, telle que l'aire totale sous sa courbe vaut 1 et que la probabilité d'un intervalle est l'aire sous la courbe entre ses bornes : P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx. Conséquence essentielle : la probabilité d'une valeur isolée est nulle, P(X = a) = 0, et donc P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) — les inégalités strictes ou larges sont indifférentes, contrairement au cas discret.
La fonction de répartition F(t) = P(X ≤ t) = ∫−∞t f(x) dx est cette fois continue et croissante, de limite 0 en −∞ et 1 en +∞, et sa dérivée redonne la densité : F'(t) = f(t). On a P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a) et P(X > a) = 1 − F(a). L'espérance et la variance généralisent les sommes en intégrales : E(X) = ∫ x f(x) dx et V(X) = ∫ x2 f(x) dx − [E(X)]2, avec les mêmes propriétés de linéarité qu'au chapitre précédent.
2. Lois uniforme et exponentielle
La loi uniforme U[a ; b] a une densité constante f(x) = 1/(b − a) sur [a ; b] et nulle ailleurs : toutes les valeurs de l'intervalle sont « également probables ». E(X) = (a + b)/2 et V(X) = (b − a)2/12. La loi exponentielle E(λ), de densité f(x) = λ e−λx pour x ≥ 0, modélise les durées de vie sans vieillissement (désintégration radioactive, temps d'attente entre deux événements d'un processus de Poisson) : F(t) = 1 − e−λt, E(X) = 1/λ, V(X) = 1/λ2. Sa propriété caractéristique est l'absence de mémoire : P(X > t + s | X > t) = P(X > s).
3. La loi normale N(μ, σ)
La loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) N(μ, σ) a pour densité f(x) = (1 / (σ√(2π))) e−(x−μ)²/(2σ²). Sa courbe est la courbe en cloche, symétrique autour de μ, qui est à la fois espérance, médiane et mode ; σ, l'écart-type, règle sa largeur, et les points d'inflexion se situent en μ ± σ. Elle décrit la majorité des caractères biologiques quantitatifs résultant de nombreux petits facteurs additifs (taille, masse, pression artérielle). Règle à mémoriser : environ 68 % des valeurs sont dans [μ − σ ; μ + σ], 95 % dans [μ − 1,96σ ; μ + 1,96σ] et 99,7 % dans [μ − 3σ ; μ + 3σ].
4. Loi normale centrée réduite et lecture de la table
Il n'existe pas de formule explicite pour F : on utilise une table, celle de la loi normale centrée réduite N(0, 1), dont la fonction de répartition est notée Π(z) (ou Φ). Le passage se fait par le changement de variable Z = (X − μ)/σ : si X suit N(μ, σ) alors Z suit N(0, 1). La table donne Π(z) = P(Z ≤ z) pour z ≥ 0 ; pour les valeurs négatives on utilise la symétrie Π(−z) = 1 − Π(z). Exemples de calculs : P(Z ≤ 1,96) = 0,975 ; P(Z > 1,64) = 1 − 0,95 = 0,05 ; P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 2Π(1,96) − 1 = 0,95.
Application : si la glycémie à jeun suit N(μ = 0,9 g/L ; σ = 0,1 g/L), la probabilité qu'un sujet dépasse 1,1 g/L vaut P(Z > (1,1 − 0,9)/0,1) = P(Z > 2) = 1 − Π(2) = 1 − 0,9772 ≈ 0,023, soit 2,3 %. Le problème inverse (trouver x tel que P(X ≤ x) = 0,90) se résout en lisant la table à l'envers : z = 1,28 puis x = μ + zσ. Les valeurs à connaître par cœur sont z = 1,645 (95 % unilatéral), z = 1,96 (95 % bilatéral) et z = 2,576 (99 % bilatéral).
5. Théorème central limite et approximations
Le théorème central limite (TCL) explique l'omniprésence de la loi normale : la somme (ou la moyenne) de n variables aléatoires indépendantes et de même loi, d'espérance μ et d'écart-type σ, suit approximativement une loi normale quand n est grand — en pratique n ≥ 30 — quelle que soit la loi de départ. La moyenne X̄n suit alors approximativement N(μ, σ/√n). Ce résultat fonde l'échantillonnage et les tests des chapitres suivants.
Il justifie aussi les approximations classiques : la binomiale B(n, p) peut être remplacée par N(np, √(npq)) quand np ≥ 5 et nq ≥ 5 ; la loi de Poisson P(λ) par N(λ, √λ) quand λ est grand (souvent λ ≥ 20). Comme on approche une loi discrète par une loi continue, on applique la correction de continuité : P(X = k) ≈ P(k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5). Enfin, à partir de variables normales indépendantes on construit les lois du khi-deux (somme de carrés de N(0,1)), de Student et de Fisher, tabulées elles aussi et utilisées dans les tests.
Fonction f ≥ 0 d'intégrale totale égale à 1 telle que P(a ≤ X ≤ b) est l'aire sous sa courbe entre a et b. Pour une variable continue, P(X = a) = 0.
Z = (X − μ)/σ : variable d'espérance 0 et d'écart-type 1. Si X est normale, Z suit N(0, 1), dont la fonction de répartition Π est tabulée.
| Loi | Densité f(x) | E(X) | V(X) | Usage |
|---|---|---|---|---|
| Uniforme U[a ; b] | 1/(b − a) sur [a ; b] | (a + b)/2 | (b − a)<sup>2</sup>/12 | Valeurs également probables |
| Exponentielle E(λ) | λe<sup>−λx</sup>, x ≥ 0 | 1/λ | 1/λ<sup>2</sup> | Durées de vie sans mémoire |
| Normale N(μ, σ) | Courbe en cloche centrée en μ | μ | σ<sup>2</sup> | Caractères biologiques, TCL |
| Normale centrée réduite N(0, 1) | Cloche centrée en 0 | 0 | 1 | Table Π(z), tests, IC |
Les lois continues usuelles
- Variable continue : probabilité = aire sous la densité, P(X = a) = 0, F' = f.
- Uniforme : E = (a+b)/2, V = (b−a)²/12 ; exponentielle : E = 1/λ, V = 1/λ², sans mémoire.
- Normale N(μ, σ) : symétrique, 68 % dans μ ± σ, 95 % dans μ ± 1,96σ, 99,7 % dans μ ± 3σ.
- Centrer-réduire Z = (X − μ)/σ puis lire la table Π(z) ; Π(−z) = 1 − Π(z) ; z = 1,96 pour 95 %.
- TCL : la moyenne de n ≥ 30 observations suit N(μ, σ/√n) ; B(n, p) ≈ N(np, √npq) si np et nq ≥ 5.
Le calcul de probabilité normale avec la table est incontournable : on te donne μ et σ d'un caractère (masse de nouveau-nés, taux d'hémoglobine) et on demande P(X < a), P(a < X < b) ou la valeur seuil dépassée par 5 % des individus. Écris toujours le changement de variable avant de lire la table, et fais un schéma de la cloche pour situer l'aire cherchée. Pièges : lire Π(z) au lieu de 1 − Π(z), oublier la symétrie pour z négatif, et confondre σ et σ² dans la notation N(μ, σ²) utilisée par certains enseignants.